Катеты прямоугольного треугольника относятся 3:2 а высота делит гипотенузу на отрезки один из которых...

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны 3x и 2x, где x - это коэффициент пропорциональности. Также пусть высота треугольника делит гипотенузу на отрезки a и 2a.

По теореме Пифагора гипотенуза равна корню из суммы квадратов катетов: гипотенуза = √((3x)^2 + (2x)^2) = √(9x^2 + 4x^2) = √13x^2 = √13 * x

Также, по условию, один отрезок гипотенузы на два больше другого, поэтому a = x и 2a = 2x.

Теперь подставим значение x в формулу для гипотенузы: гипотенуза = √13 a гипотенуза = √13 x гипотенуза = √13 a гипотенуза = √13 2a гипотенуза = √13 2 x гипотенуза = 2√13 * x

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 2√13, или примерно 7.21.

Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения катетов прямоугольного треугольника. Пусть катеты ( a ) и ( b ) относятся как 3:2. Обозначим их как ( a = 3x ) и ( b = 2x ), где ( x ) - некоторое положительное число.

Гипотенуза ( c ) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(3x)^2 + (2x)^2} = \sqrt{9x^2 + 4x^2} = \sqrt{13x^2} = \sqrt{13}x. ]

Согласно условию, высота, проведенная из прямого угла на гипотенузу, делит её на два отрезка, один из которых на 2 больше другого. Обозначим меньший отрезок как ( m ), тогда больший будет ( m + 2 ).

Свойство высоты в прямоугольном треугольнике гласит, что произведение отрезков гипотенузы равно квадрату высоты, а также произведение отрезков равно произведению катетов, делённому на квадрат гипотенузы:

[ m(m + 2) = \frac{a^2 \cdot b^2}{c^2}. ]

Подставим значения:

[ m(m + 2) = \frac{(3x)(2x)}{\sqrt{13}x} = \frac{6x^2}{\sqrt{13}x} = \frac{6x}{\sqrt{13}}. ]

Теперь выразим ( m(m + 2) = \frac{6x}{\sqrt{13}} ). Решим это уравнение с учётом, что длины отрезков ( m ) и ( m+2 ) являются корнями квадратного уравнения:

[ t^2 + 2t - \frac{6x}{\sqrt{13}} = 0. ]

Решим уравнение относительно ( t ):

Дискриминант:

[ D = 2^2 + 4 \cdot \frac{6x}{\sqrt{13}} = 4 + \frac{24x}{\sqrt{13}}. ]

Корни уравнения:

[ t = \frac{-2 \pm \sqrt{D}}{2}. ]

Учитывая, что корни ( t_1 ) и ( t_2 = t_1 + 2 ) должны быть положительными, решим это уравнение и подберем ответ.

В силу сложности уравнения и необходимости конкретных значений, для нахождения точной гипотенузы можем использовать численное решение (подбор значений ( x )), чтобы получить целые значения для ( m ) и ( m+2 ).

Таким образом, гипотенуза ( c ) в точном значении можно определить, подбирая значение ( x ) таким образом, чтобы ( m ) и ( m+2 ) делили гипотенузу на целые отрезки. Основной метод заключается в численных вычислениях или приближениях в зависимости от условий задачи и допустимых значений для ( x ).