Хорды КМ и ТР окружности пересекаются в точке А. Вычислите: а) градусную меру тупого угла, образованного...

а) Тупой угол равен 180° - 90° = 90°.

б) Длина отрезка ТА равна 18 см.

а) Для вычисления градусной меры тупого угла, образованного хордами КМ и ТР, нам нужно сначала определить градусные меры соответствующих дуг окружности. Пусть угол в точке А равен α градусов. Тогда градусные меры дуг, соответствующих точкам К,М,Т,Р будут равны 2α, 3α, 6α и 9α соответственно.

Так как сумма градусных мер дуг, охватываемых этим углом, равна 360 градусов (полный оборот окружности), то у нас получается уравнение: 2α + 3α + 6α + 9α = 360 20α = 360 α = 18

Итак, градусная мера тупого угла, образованного хордами КМ и ТР, равна 18 градусов.

б) Для вычисления длины отрезка ТА, нам нужно использовать теорему косинусов для треугольника ТАР. По условию, АР = ТА + 7 см, КА = 4.5 см, МА = 4 см.

Применим теорему косинусов: (ТА)^2 = (МА)^2 + (АР)^2 - 2 МА АР * cos(α)

Подставляем значения и находим длину отрезка ТА: (ТА)^2 = 4^2 + (ТА + 7)^2 - 2 4 (ТА + 7) cos(18) (ТА)^2 = 16 + (ТА + 7)^2 - 8(ТА + 7) cos(18) (ТА)^2 = 16 + ТА^2 + 14ТА + 49 - 8ТА - 56 * cos(18) 0 = ТА^2 + 14ТА - 8ТА - 40 0 = ТА^2 + 6ТА - 40 (ТА + 10)(ТА - 4) = 0 ТА = 4 см

Итак, длина отрезка ТА равна 4 см.

Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение градусных мер дуг

У нас есть окружность, на которой точки ( K, M, T ) и ( R ) делят окружность на дуги, градусные меры которых пропорциональны числам 2, 3, 6 и 9. Обозначим эти дуги через ( \alpha, \beta, \gamma ) и ( \delta ) соответственно.

Поскольку сумма всех дуг окружности равна ( 360^\circ ), можно записать уравнение:

[ 2x + 3x + 6x + 9x = 360^\circ ]

Решим это уравнение:

[ 20x = 360^\circ ] [ x = 18^\circ ]

Таким образом, градусные меры дуг равны:

• Дуга ( \overset{\frown}{KM} ) (пропорциональна числу 2): ( \alpha = 2x = 36^\circ )
• Дуга ( \overset{\frown}{MT} ) (пропорциональна числу 3): ( \beta = 3x = 54^\circ )
• Дуга ( \overset{\frown}{TR} ) (пропорциональна числу 6): ( \gamma = 6x = 108^\circ )
• Дуга ( \overset{\frown}{RK} ) (пропорциональна числу 9): ( \delta = 9x = 162^\circ )

Шаг 2: Определение тупого угла

Тупой угол, образованный хордами ( KM ) и ( TR ), равен половине суммы градусных мер дуг, на которые они опираются. Рассмотрим дуги ( \overset{\frown}{KT} ) и ( \overset{\frown}{MR} ).

Дуга ( \overset{\frown}{KT} ) состоит из двух частей:

• ( \overset{\frown}{KM} = 36^\circ )
• ( \overset{\frown}{MT} = 54^\circ )

Итого: [ \overset{\frown}{KT} = 36^\circ + 54^\circ = 90^\circ ]

Дуга ( \overset{\frown}{MR} ) состоит из двух частей:

• ( \overset{\frown}{TR} = 108^\circ )
• ( \overset{\frown}{RK} = 162^\circ )

Итого: [ \overset{\frown}{MR} = 108^\circ + 162^\circ = 270^\circ ]

Теперь найдем угол ( \angle KAT ): [ \angle KAT = \frac{1}{2} (\overset{\frown}{KT} + \overset{\frown}{MR}) = \frac{1}{2} (90^\circ + 270^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ ]

Поскольку ( \angle KAT ) равен ( 180^\circ ), это не тупой угол. Но нам нужно найти угол между хордами. В таком случае, если одна дуга больше 180 градусов, то угол будет тупым.

Шаг 3: Длина отрезка ( TA )

Теперь перейдем к поиску длины отрезка ( TA ). Известно, что ( AR ) на 7 см больше ( TA ), ( KA = 4.5 ) см и ( MA = 4 ) см.

Обозначим ( TA ) через ( x ), тогда ( AR = x + 7 ).

Используем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд:

[ KA \cdot AM = TA \cdot AR ]

Подставим известные значения: [ 4.5 \cdot 4 = x \cdot (x + 7) ] [ 18 = x^2 + 7x ]

Решим квадратное уравнение: [ x^2 + 7x - 18 = 0 ]

Найдем корни уравнения по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Здесь ( a = 1 ), ( b = 7 ), ( c = -18 ): [ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 + 4 \cdot 18}}{2} ] [ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} ] [ x = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2} ] [ x = \frac{-7 \pm 11}{2} ]

Получаем два значения: [ x = \frac{4}{2} = 2 ] [ x = \frac{-18}{2} = -9 ]

Поскольку длина не может быть отрицательной, ( x = 2 ) см.

Ответы на вопросы:

а) Градусная мера тупого угла, образованного хордами ( KM ) и ( TR ) равна ( 135^\circ ).

б) Длина отрезка ( TA ) равна 2 см.