Коническая воронка объемом 16 литров полностью заполнена жидкостью. Из воронки вычерпали часть жидкости, при этом ее уровень снизился до половины высоты воронки. Сколько литров жидкости вычерпали?
Коническая воронка объемом 16 литров полностью заполнена жидкостью. Из воронки вычерпали часть жидкости, при этом ее уровень снизился до половины высоты воронки. Сколько литров жидкости вычерпали?
Вычерпали 8 литров жидкости.
Чтобы решить эту задачу, нужно использовать понятие объема конуса и понять, как изменение высоты влияет на объем жидкости в конусе.
Коническая воронка имеет форму конуса, и объем конуса ( V ) определяется формулой:
[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]
где ( r ) — радиус основания конуса, ( h ) — высота конуса.
Нам дано, что полный объем конуса составляет 16 литров, и уровень жидкости снизился до половины высоты воронки. Это значит, что оставшийся объем жидкости тоже формирует конус, но с высотой, равной половине исходной высоты ( h/2 ).
Когда уровень жидкости в конусе снижается до половины высоты, радиус нового маленького конуса тоже уменьшается пропорционально, то есть он станет равным ( r/2 ).
Теперь найдем объем жидкости, оставшейся в воронке, когда уровень снизился до половины высоты. Объем нового конуса ( V_{\text{малого}} ) будет:
[ V_{\text{малого}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \left(\frac{h}{2}\right) ]
[ V_{\text{малого}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{r^2}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{24} \pi r^2 h ]
Мы знаем, что первоначальный объем ( V = 16 ) литров, следовательно:
[ V_{\text{малого}} = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2 \text{ литра} ]
Таким образом, в воронке осталось 2 литра жидкости. Поскольку изначально в воронке было 16 литров, количество вычерпанной жидкости составляет:
[ 16 - 2 = 14 \text{ литров} ]
Таким образом, из воронки вычерпали 14 литров жидкости.
Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу объема конической воронки, которая равна V = (1/3) π r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.
Поскольку воронка полностью заполнена жидкостью и ее объем равен 16 литрам, то мы можем выразить высоту h через радиус основания r: 16 = (1/3) π r^2 * h. Так как у нас нет информации о точных значениях r и h, мы не можем найти их конкретные значения.
Однако, по условию задачи, если после вычерпывания жидкости уровень ее снизился до половины высоты воронки, то новая высота h' будет равна h/2. Подставив это значение в формулу объема, мы можем найти объем жидкости, которую вычерпали: 16 = (1/3) π r^2 (h/2) 16 = (1/6) π r^2 h r^2 * h = 96 / π
Таким образом, объем жидкости, вычерпанной из воронки, будет равен разнице между первоначальным объемом и новым объемом: 16 - (1/3) π r^2 * (h/2) 16 - 32 = 16 Таким образом, из воронки было вычерпано 16 литров жидкости.
