Куб вписан в шар.Найдите площадь поверхности шара,если ребро куба равно 8 см

Для решения данной задачи рассмотрим куб, вписанный в шар. Обозначим сторону куба (ребро) как "а" и радиус шара как "R".

Так как куб вписан в шар, его диагональ (диаметр шара) равна диагонали куба. Диагональ куба можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю куба, его ребром и половиной его диагонали:

a^2 + a^2 = (2R)^2 2a^2 = 4R^2 a^2 = 2R^2

Теперь найдем площадь поверхности шара. Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

S = 4πR^2

Исходя из предыдущего уравнения, можем заменить "a^2" на "2R^2":

S = 4π(2R^2) S = 8πR^2

Таким образом, площадь поверхности шара, в который вписан куб с ребром 8 см, равна 8πR^2, где R - радиус шара.

Для того чтобы найти площадь поверхности шара, в который вписан куб, сначала необходимо определить радиус шара.

1. Связь между ребром куба и диаметром шара: Куб вписан в шар, следовательно, его диагональ является диаметром шара. Обозначим ребро куба за ( a ). Диагональ куба ( d ) рассчитывается по формуле: [ d = a\sqrt{3} ] В данном случае ( a = 8 ) см, значит: [ d = 8\sqrt{3} ] Диагональ куба равна диаметру шара.

2. Радиус шара: Радиус ( R ) шара в два раза меньше диаметра, следовательно: [ R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см} ]

3. Площадь поверхности шара: Площадь поверхности шара ( S ) вычисляется по формуле: [ S = 4\pi R^2 ] Подставим найденное значение радиуса ( R ): [ S = 4\pi (4\sqrt{3})^2 ] Рассчитаем квадрат радиуса: [ (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48 ] Теперь подставим это значение в формулу для площади: [ S = 4\pi \times 48 = 192\pi \, \text{кв. см} ]

Таким образом, площадь поверхности шара, в который вписан куб с ребром 8 см, равна ( 192\pi \, \text{кв. см} ).

Площадь поверхности шара равна 96π см^2.