Для начала найдем длины других сторон трапеции. Поскольку острый угол трапеции равен 60 градусов, то это означает, что трапеция является равнобедренной.
Поскольку меньшая боковая сторона равна 8 √3, то большая боковая сторона также равна 8 √3.
Теперь найдем длины оснований трапеции. Поскольку трапеция равнобедренная, то длина основания равна сумме длин большей и меньшей боковых сторон, то есть 8 √3 + 8 √3 = 16 √3.
Известно, что окружность, вписанная в трапецию, касается всех сторон трапеции. Поэтому можно провести радиусы окружности к точкам касания. Таким образом, радиус окружности равен высоте трапеции.
Теперь найдем высоту трапеции. Для этого можно разделить трапецию на два равнобедренных треугольника, проведя высоту из вершины прямого угла до основания. Таким образом, получим два равнобедренных треугольника с углом в 30 градусов и катетами 8 √3 и высотой h.
Теперь, применяя тригонометрические соотношения для треугольника с углом в 30 градусов, мы можем найти высоту h.
cos(30°) = (8√3/2) / h
√3 / 2 = (8√3) / h
h = 16
Таким образом, высота трапеции равна 16.
Наконец, найдем площадь трапеции. Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.
S = (a + b) h / 2
S = (16√3 + 16√3) 16 / 2
S = 32√3 * 16 / 2
S = 256√3
Таким образом, площадь трапеции, в которую можно вписать окружность, равна 256√3.