На чертеже АВСД - равнобедренная трапеция, АВ=СД=6 см, ВС=4 см, угол А=60 градусов. Тогда средняя линия...

Чтобы найти среднюю линию трапеции, сначала вспомним, что она определяется как отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции и равный полусумме её оснований:

[ \text{Средняя линия} = \frac{\text{АД} + \text{ВС}}{2}. ]

Нам даны:

• ( АВ = СД = 6 \, \text{см} ) (боковые стороны равнобедренной трапеции),
• ( ВС = 4 \, \text{см} ) (меньшее основание),
• угол ( \angle А = 60^\circ ).

Теперь найдем большее основание ( АД ), чтобы вычислить среднюю линию.

1. Используем свойства равнобедренной трапеции

Рассмотрим равнобедренную трапецию ( АВСД ). Проведем высоты ( ВК ) и ( СМ ) из вершин ( В ) и ( С ) соответственно на основание ( АД ). Эти высоты перпендикулярны основанию ( АД ) и делят трапецию на прямоугольники и два равных прямоугольных треугольника.

Обозначим:

• длину высоты через ( h ),
• отрезки ( АК ) и ( DM ) как ( x ) (равные из-за равнобедренности трапеции).

Тогда длина большего основания ( АД ) выражается как: [ АД = АК + КМ + DM = x + ВС + x = 2x + ВС. ]

Подставим ( ВС = 4 ): [ АД = 2x + 4. ]

2. Найдем высоту ( h ) и ( x ) с использованием угла ( 60^\circ )

В треугольнике ( АВК ):

• ( \angle А = 60^\circ ),
• ( АВ = 6 ) (гипотенуза),
• ( АК = x ) (прилежащий катет),
• ( ВК = h ) (противолежащий катет).

Используем тригонометрические функции: [ \cos(60^\circ) = \frac{АК}{АВ}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{ВК}{АВ}. ]

Подставляем значения: [ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

1. Для ( АК ): [ \cos(60^\circ) = \frac{x}{6} \implies \frac{1}{2} = \frac{x}{6} \implies x = 3. ]

2. Для ( ВК ): [ \sin(60^\circ) = \frac{h}{6} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{6} \implies h = 3\sqrt{3}. ]

3. Найдем большее основание ( АД )

Подставляем ( x = 3 ) и ( ВС = 4 ) в формулу: [ АД = 2x + ВС = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 \, \text{см}. ]

4. Найдем среднюю линию

Теперь вычисляем длину средней линии: [ \text{Средняя линия} = \frac{\text{АД} + \text{ВС}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \, \text{см}. ]

Ответ:

Средняя линия трапеции равна 7 см.

Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований. В данном случае:

( AD = AB + BC = 6 + 4 = 10 ) см (большее основание), ( BC = 4 ) см (меньшее основание).

Тогда средняя линия:

[ m = \frac{AD + BC}{2} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см}. ]

Ответ: 7 см.

В равнобедренной трапеции ABCD, где AB и CD — это основания, а BC и AD — боковые стороны, мы знаем следующие данные:

• AB = CD = 6 см (большие основания)
• BC = 4 см (меньшее основание)
• угол A = 60° (угол при основании AB)

Для начала, давайте найдем длину меньшего основания BC (которое, согласно условию, равно 4 см) и длину большего основания AD.

Шаг 1: Находим высоту трапеции

Для нахождения высоты трапеции можно провести перпендикуляры из точек B и C на основание AD. Обозначим точки, где перпендикуляры пересекают основание AD, как точку E и F соответственно. Таким образом, получаем два прямоугольных треугольника: ABE и CDF.

В треугольнике ABE:

• AB = 6 см (гипотенуза)
• угол A = 60°

Согласно свойству треугольника, высота h может быть найдена с помощью функции синуса:

[ h = AB \cdot \sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \text{ см} ]

Шаг 2: Находим длину основания AD

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольниках ABE и CDF. Длина отрезков AE и DF будет равна половине разности длины оснований:

[ AE + DF = AD - BC ]

Обозначим AE и DF как x. Поскольку ABCD — равнобедренная трапеция, AE = DF = x.

Согласно теореме Пифагора:

[ AB^2 = AE^2 + h^2 \rightarrow 6^2 = x^2 + (3\sqrt{3})^2 ]

Подставляем значения:

[ 36 = x^2 + 27 \rightarrow x^2 = 36 - 27 = 9 \rightarrow x = 3 \text{ см} ]

Теперь можем найти длину основания AD:

[ AD = AE + DF + BC = x + x + 4 = 3 + 3 + 4 = 10 \text{ см} ]

Шаг 3: Находим среднюю линию трапеции

Средняя линия трапеции (M) равна среднему арифметическому длин оснований:

[ M = \frac{AB + CD}{2} = \frac{AD + BC}{2} ]

Подставляем известные значения:

[ M = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см} ]

Таким образом, средняя линия трапеции ABCD равна 7 см.