На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки N и P так что уголABN=углуCDP (точка N лежит между...

Для доказательства равенства BN = DP воспользуемся свойством параллелограмма.

Из условия задачи известно, что угол ABN равен углу CDP. Так как диагонали AC параллелограмма ABCD пересекаются в их середине, то точка N лежит на диагонали AC.

Также из свойств параллелограмма следует, что диагонали параллельны и равны между собой. Поэтому AC = BD.

Теперь рассмотрим треугольники ABN и CDP. У них два угла равны между собой (угол ABN = угол CDP) и одна сторона равна (AC = BD). Из этого следует, что эти треугольники равны по стороне-углу-стороне (СУС).

Следовательно, BN = DP, что и требовалось доказать.

Для доказательства равенства отрезков BN и DP воспользуемся методом доказательства с использованием свойств углов и параллельности сторон параллелограмма.

1. Свойства параллелограмма и углы: Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB параллельна CD, и AD параллельна BC. Кроме того, углы при параллельных сторонах и секущей равны, то есть ∠ABN = ∠CDP по условию задачи.

2. Рассмотрим треугольники ∆ABN и ∆CDP: Поскольку AB параллельна CD и N и P лежат на диагонали AC, мы можем сказать, что ∠BAN = ∠DCP (как соответствующие углы при параллельных прямых и секущей AC).

3. Равенство углов в треугольниках: Так как ∠ABN = ∠CDP и ∠BAN = ∠DCP, то у треугольников ∆ABN и ∆CDP два угла попарно равны.

4. Третий угол в треугольниках: По теореме о сумме углов в треугольнике, каждый из которых равен 180°, третий угол в каждом из треугольников также будет равен, то есть ∠ANB = ∠DPC.

5. Подобие треугольников: Имея равенство трёх углов, можно утверждать, что треугольники ∆ABN и ∆CDP подобны.

6. Коэффициент подобия и равенство сторон: Поскольку треугольники подобны, и диагональ AC общая для обоих треугольников (причём точки N и P делят AC на три части), можно сказать, что BN/DP = AN/PC. Но поскольку ∆ABN подобен ∆CDP, коэффициент подобия должен быть равен 1, что влечет равенство BN = DP.

Таким образом, используя свойства углов при параллельных прямых и подобие треугольников, мы доказали, что BN = DP.