На диагонали ВД прямоугольника АВСД отложены равные отрезки ВМ и ДК. а) Докажите равенство треугольников...

а) Рассмотрим треугольники АВМ и СДК. У них общий угол при вершине В (или при вершине D), также у них равны стороны ВМ и ДК (по условию задачи), и сторона АВ равна стороне СД (по условию прямоугольника). По двум сторонам и углу между ними треугольники АВМ и СДК равны.

б) Четырехугольник АМСК является параллелограммом. Действительно, так как стороны ВМ и ДК равны, то ВМ || ДК. Также стороны АВ и СД равны, поэтому АВ || СД. Значит, по двум парам параллельных сторон четырехугольник АМСК является параллелограммом.

Рассмотрим задачу по геометрии, где на диагонали ( BD ) прямоугольника ( ABCD ) отложены равные отрезки ( BM ) и ( DK ). Необходимо доказать равенство треугольников ( \triangle ABM ) и ( \triangle CDK ), а также определить вид четырёхугольника ( AMSK ).

a) Доказательство равенства треугольников ( \triangle ABM ) и ( \triangle CDK )

1. Рассмотрим диагонали прямоугольника: В прямоугольнике ( ABCD ), диагонали ( AC ) и ( BD ) равны и пересекаются в точке ( O ). Следовательно, ( AO = CO ) и ( BO = DO ).

2. Равенство отрезков на диагонали: По условию, ( BM = DK ).

3. Рассмотрим треугольники ( \triangle ABM ) и ( \triangle CDK ):

   • У них общая сторона ( BD ) (так как ( M ) и ( K ) лежат на ( BD )).
   • Углы ( \angle ABM ) и ( \angle CDK ) равны, так как они являются вертикальными углами (так как ( \angle ABD = \angle CDB )).
   • ( BM = DK ) по условию.

4. Признак равенства треугольников: По теореме о равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим углам (( \angle ABM = \angle CDK ) и ( BM = DK )), треугольники ( \triangle ABM ) и ( \triangle CDK ) равны.

b) Определение вида четырёхугольника ( AMSK )

1. Рассмотрим четырёхугольник ( AMSK ):

   • ( AM ) и ( SK ) — это половины диагоналей ( AC ) и ( BD ) соответственно.
   • ( BM = DK ) по условию, следовательно, ( AM = SK ).

2. Свойства четырёхугольника:

   • Поскольку диагонали прямоугольника пересекаются и делятся пополам точкой пересечения, то ( AO = OC ) и ( BO = OD ).
   • Угол ( \angle AMB = \angle SKD ) так как соответствующие углы равны.

3. Вывод о виде четырёхугольника:

   • Так как противоположные стороны ( AM ) и ( SK ) равны и параллельны, а также ( \angle AMB = \angle SKD ), четырёхугольник ( AMSK ) является параллелограммом.
   • Поскольку все свойства сохраняются с учётом симметрии и равенства углов, ( AMSK ) также является прямоугольником (так как ( \angle AMS = \angle MSK = 90^\circ )).

Итак, четырёхугольник ( AMSK ) является прямоугольником.

а) Треугольники АВМ и СДК равны по гипотенузе-катету-катету. б) Четырехугольник АМСК - это параллелограмм.