На медиане AM треугольника ABC отметили D. Докажите, что если DB = DC, то треугольник ABC равнобедренный

Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) с медианой ( AM ), где точка ( M ) — это середина отрезка ( BC ). На медиане ( AM ) отметим точку ( D ), такую что ( DB = DC ).

Нам нужно доказать, что треугольник ( \triangle ABC ) равнобедренный, то есть ( AB = AC ).

1. Свойства медианы: Поскольку ( AM ) — медиана, по определению медианы имеем ( BM = MC ).

2. Условие задачи: Условие ( DB = DC ) говорит нам о том, что точка ( D ) находится на серединном перпендикуляре к отрезку ( BC ).

3. Рассмотрим окружность: Поскольку ( DB = DC ), точка ( D ) является одним из концов диаметра окружности, построенной на отрезке ( BC ) как на диаметре. Эта окружность будет описанной окружностью для треугольника ( \triangle BDC ).

4. Свойства окружности: Из свойства окружности, построенной на отрезке как на диаметре, следует, что угол ( \angle BDC ) является прямым.

5. Рассмотрим треугольник ( \triangle BDC ): Поскольку ( D ) — точка на медиане ( AM ), и ( DB = DC ), треугольник ( \triangle BDC ) является равнобедренным с основанием ( BC ). Так как ( BM = MC ), медиана ( AM ) для треугольника ( \triangle ABC ) также является высотой и биссектрисой, что делает треугольник ( \triangle ABC ) равнобедренным.

6. Вывод: Из вышеперечисленных свойств следует, что если в треугольнике на медиане отметили точку ( D ) так, что ( DB = DC ), то треугольник ( \triangle ABC ) обязательно равнобедренный с равными сторонами ( AB ) и ( AC ).

Таким образом, мы доказали, что если на медиане ( AM ) треугольника ( \triangle ABC ) выбрана точка ( D ) такая, что ( DB = DC ), то треугольник ( \triangle ABC ) является равнобедренным.

Для доказательства равнобедренности треугольника ABC, необходимо доказать, что AB = AC.

Из условия известно, что точка D - середина стороны BC (точка D находится на медиане AM). Поскольку DB = DC, то треугольник BDC является равнобедренным (по свойству равенства сторон треугольника). Это означает, что углы BCD и CBD равны между собой.

Также известно, что угол BDM равен углу CDM, так как точка D - середина стороны BC (по свойству медианы треугольника). Таким образом, углы BDM и CDM также равны между собой.

Из равенства углов BDM и CDM следует, что треугольник BDM равен треугольнику CDM по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, BD = CD.

Так как DB = DC и DB = DC, то стороны треугольника ABC AB и AC равны между собой. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.