На прямой последовательно отмечено четыре точки A, B, O, C и D так, что AC=BD. Докажите, что если точка...

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть четыре точки ( A ), ( B ), ( O ), ( C ) и ( D ) на прямой, причем дано, что ( AC = BD ) и точка ( O ) является серединой отрезка ( BC ). Нам нужно доказать, что точка ( O ) также является серединой отрезка ( AD ).

Шаг 1: Параметризация точек

Для удобства введем координатную ось, где ( O ) находится в начале координат, то есть ( O ) имеет координату ( 0 ). Пусть координаты остальных точек будут следующими:

• Координата ( B ) будет ( x )
• Координата ( C ) будет ( y )

Поскольку ( O ) является серединой ( BC ), это означает, что ( O ) делит отрезок ( BC ) пополам. Следовательно, ( O ) является среднеарифметическим координат ( B ) и ( C ): [ O = \frac{x + y}{2} = 0 ] Отсюда следует, что ( x + y = 0 ) или ( y = -x ).

Шаг 2: Введение дополнительных координат

Теперь для координат ( A ) и ( D ) обозначим их следующим образом:

• Координата ( A ) будет ( a )
• Координата ( D ) будет ( d )

Шаг 3: Условия задачи

По условию задачи, ( AC = BD ). Запишем это в виде координат: [ AC = |a - y| = |a + x| ] [ BD = |x - d| ] Так как ( AC = BD ), то: [ |a + x| = |x - d| ]

Шаг 4: Анализ модулей

Рассмотрим два возможных случая для равенства модулей:

1. ( a + x = x - d )
2. ( a + x = -(x - d) )

Случай 1:

[ a + x = x - d ] Отсюда: [ a = -d ]

Случай 2:

[ a + x = -x + d ] Отсюда: [ a + x + x = d ] [ a + 2x = d ]

Шаг 5: Проверка условий средней точки ( O )

Для ( O ) быть серединой ( AD ), должно выполняться: [ O = \frac{a + d}{2} ] Поскольку ( O = 0 ), то: [ \frac{a + d}{2} = 0 ] Отсюда: [ a + d = 0 ]

Проверка для обоих случаев:

1. В первом случае: [ a = -d ] Это удовлетворяет условию ( a + d = 0 ).

2. Во втором случае: [ a + 2x = d ] Проверим: [ a + d = a + (a + 2x) = 2a + 2x = 0 ] Тогда: [ a + x = 0 \implies a = -x ] [ d = a + 2x = -x + 2x = x ] [ a + d = -x + x = 0 ] Это также удовлетворяет условию ( a + d = 0 ).

Заключение

В обоих случаях ( a ) и ( d ) удовлетворяют ( a + d = 0 ), что означает, что точка ( O ) является серединой отрезка ( AD ).

Таким образом, мы доказали, что если точка ( O ) является серединой ( BC ), то она также является серединой ( AD ).

Для доказательства этого утверждения построим отрезки AO и DO. Так как точка O является серединой отрезка BC, то по определению середины отрезка мы имеем, что BO=OC. Также, по условию задачи AC=BD.

Рассмотрим треугольники AOC и BDO. По условию у нас есть два равных отрезка: AO=BO и CO=OD, а также равные отрезки AC=BD. Поэтому по стороне-стороне-стороне у этих треугольников все стороны равны, следовательно, треугольники AOC и BDO равны.

Из равенства треугольников следует, что у них равны соответствующие углы. Так как угол AOC равен углу BDO из-за равенства треугольников, то получаем, что угол AOD также равен углу BOC.

Таким образом, у нас получается, что точка O является серединой отрезка AD.

Поскольку AC=BD и O - середина BC, то AO=OC и BO=OD. Из этого следует, что точка O также является серединой AD.