На растоянии 4см от центра шара проведено сечение. хорда ,удаленная от центра этого сечения на корень5...

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом шара, хордой и отрезком, соединяющим центр шара с серединой хорды.

Из условия задачи мы знаем, что длина хорды равна 4 см, а расстояние от центра сечения до хорды равно ( \sqrt{5} ) см. Также известно, что угол, заключенный между радиусом и хордой, равен 120 градусам.

Давайте обозначим радиус шара как ( r ). Тогда половина длины хорды будет равна ( \frac{4}{2} = 2 ) см. Теперь мы можем составить уравнение по теореме Пифагора:

[ r = \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 5} = \sqrt{6} ] см.

Теперь, чтобы найти объем шара, воспользуемся формулой:

[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\sqrt{6})^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6 \sqrt{6} ] см³.

Для расчета площади поверхности шара воспользуемся формулой:

[ S = 4 \pi r^2 = 4 \pi (\sqrt{6})^2 = 4 \pi \cdot 6 = 24 \pi ] см².

Итак, объем шара составляет ( \frac{4}{3} \pi \cdot 6 \sqrt{6} ) см³, а площадь его поверхности равна ( 24 \pi ) см².

Объем шара: (V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (4)^3 = \frac{256}{3} \pi) см³

Площадь поверхности шара: (S = 4 \pi r^2 = 4 \pi (4)^2 = 64 \pi) см².

Для решения этой задачи необходимо провести несколько шагов, используя свойства сфер и кругов.

1. Определение радиуса круга сечения: Пусть радиус шара — ( R ). Сечение на расстоянии 4 см от центра шара образует круг радиуса ( r ). По теореме Пифагора для треугольника, образованного радиусом шара, радиусом круга сечения и расстоянием от центра шара до плоскости сечения, имеем: [ R^2 = r^2 + 4^2 ] [ R^2 = r^2 + 16 ]

2. Определение длины хорды: Хорда в круге сечения удалена от центра этого сечения на ( \sqrt{5} ) см и стягивает угол ( 120^\circ ). Найдем длину этой хорды.

   В круге радиуса ( r ) хорда, стягивающая угол ( 2\theta ), имеет длину: [ L = 2r \sin(\theta) ] Здесь ( \theta = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ ). Тогда: [ L = 2r \sin(60^\circ) = 2r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = r\sqrt{3} ]

3. Использование расстояния от центра сечения до хорды: Расстояние от центра круга до хорды можно также выразить через радиус ( r ) и длину хорды ( L ): [ d = \sqrt{r^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} ] Подставим значения ( L = r\sqrt{3} ) и ( d = \sqrt{5} ): [ \sqrt{5} = \sqrt{r^2 - \left(\frac{r\sqrt{3}}{2}\right)^2} ] [ \sqrt{5} = \sqrt{r^2 - \frac{3r^2}{4}} ] [ \sqrt{5} = \sqrt{\frac{4r^2 - 3r^2}{4}} ] [ \sqrt{5} = \sqrt{\frac{r^2}{4}} ] [ \sqrt{5} = \frac{r}{2} ] [ r = 2\sqrt{5} ]

4. Нахождение радиуса шара: Подставим найденное значение ( r ) в уравнение из первого шага: [ R^2 = (2\sqrt{5})^2 + 16 ] [ R^2 = 4 \cdot 5 + 16 ] [ R^2 = 20 + 16 ] [ R^2 = 36 ] [ R = 6 \text{ см} ]

5. Вычисление объема и площади поверхности шара:

   • Объем шара: [ V = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288\pi \text{ куб.см} ]

   • Площадь поверхности шара: [ S = 4 \pi R^2 = 4 \pi \cdot 6^2 = 4 \pi \cdot 36 = 144\pi \text{ кв.см} ]

Итак, объем шара составляет ( 288\pi ) кубических сантиметров, а площадь его поверхности — ( 144\pi ) квадратных сантиметров.