На ребрах АА1 и СС1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены соответственно точки М и N так, что АМ:АА1=m,...

Для построения сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M и N параллельно диагонали BD основания, необходимо воспользоваться свойством параллелепипеда, что плоскость, параллельная одной из его диагоналей, разделяет его на два равных тетраэдра.

Поскольку дано, что точки М и N находятся на ребрах АА1 и СС1 соответственно, то для построения сечения нужно соединить эти точки прямой линией и провести плоскость через эту прямую и параллельно диагонали BD.

Чтобы определить в каком отношении эта плоскость делит ребро ВВ1, нужно учитывать, что плоскость, параллельная диагонали BD, делит ребро ВВ1 пополам. Таким образом, отношение, в котором эта плоскость делит ребро ВВ1, будет равным 1:1.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи и начальная визуализация

У нас есть параллелепипед ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), где точки ( M ) и ( N ) расположены на ребрах ( AA_1 ) и ( CC_1 ) соответственно. Точка ( M ) делит ребро ( AA_1 ) в отношении ( AM:AA_1 = m ), а точка ( N ) делит ребро ( CC_1 ) в отношении ( CN:CC_1 = n ).

Наша задача — построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки ( M ) и ( N ) и параллельна диагонали ( BD ) основания.

Шаг 2: Построение параллелепипеда и диагонали ( BD )

Рассмотрим основание параллелепипеда ( ABCD ). Диагональ ( BD ) соединяет вершины ( B ) и ( D ).

Шаг 3: Построение сечения

1. Определение направления плоскости:

   • Плоскость должна быть параллельна диагонали ( BD ) и проходить через точки ( M ) и ( N ).
   • Это направление параллельно вектору ( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} ).

2. Определение точек пересечения плоскости с другими ребрами параллелепипеда:

   • Поскольку плоскость параллельна диагонали ( BD ), она также будет пересекать противоположные ребра, параллельные ( BD ), например ( AC ) и ( B_1D_1 ).

3. Определение точки на ребре ( BB_1 ):

   • Плоскость пересекает ребро ( BB_1 ) в точке, которая делит его в том же отношении, что и точки ( M ) и ( N ) делят свои ребра.
   • Поскольку плоскость параллельна диагонали ( BD ), которая полностью лежит в основании, отношение деления будет зависеть от высоты и взаимного расположения точек ( M ) и ( N ).

Шаг 4: Определение отношения деления на ребре ( BB_1 )

Рассмотрим проекцию плоскости на плоскость основания ( ABCD ):

• Проекция точки ( M ) на основание совпадает с точкой ( A ).
• Проекция точки ( N ) на основание совпадает с точкой ( C ).

Поскольку плоскость параллельна диагонали ( BD ), ее проекция будет проходить через точки ( A ) и ( C ) и быть параллельна ( BD ).

Теперь для определения точки пересечения с ребром ( BB_1 ) необходимо вычислить, как эта проекция пересекает вертикальную составляющую ( BB_1 ).

Отношение, в котором плоскость делит ребро ( BB_1 ), будет определяться аналогично делению ( M ) и ( N ) на ( AA_1 ) и ( CC_1 ). То есть точка ( P ), где плоскость пересекает ( BB_1 ), делит его в отношении:

[ BP:PB_1 = \frac{m+n}{2} ]

Это происходит из-за того, что плоскость параллельна горизонтальной диагонали и симметрия относительно средних точек таких делений.

Таким образом, плоскость делит ребро ( BB_1 ) в отношении ( \frac{m+n}{2} ).