На сторонах AB и АД параллелограмма АВСД отмечены точки М и N так, что АМ=MB, AN:ТД=3:4 Выразите векторы...

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства параллелограмма и пропорции векторов.

Поскольку AM=MB, то вектор AM равен вектору MB и направлен в том же направлении, что и вектор AB. Таким образом, вектор AM равен половине вектора AB (AM = 0.5 * AB).

Также, по условию задачи, AN:TD = 3:4. Из этого следует, что вектор AN равен 3/7 вектора AD (AN = 3/7 * AD).

Теперь выразим векторы CM, CN, MN через векторы x = CB и y = CD.

1. Вектор CM: CM = CA + AM = CA + 0.5 AB = CA + 0.5 x.

2. Вектор CN: CN = CD - DN = CD - (3/7) AD = CD - (3/7) y.

3. Вектор MN: MN = CN - CM = (CD - (3/7) y) - (CA + 0.5 x) = CD - CA - (3/7) y + 0.5 x.

Таким образом, векторы CM, CN и MN выражены через векторы x = CB и y = CD.

Для решения этой задачи, давайте сначала разберемся с заданными условиями и обозначением векторов в параллелограмме.

Пусть векторы (\mathbf{AB} = \mathbf{a}) и (\mathbf{AD} = \mathbf{b}). В силу свойств параллелограмма, мы знаем, что (\mathbf{BC} = \mathbf{b}) и (\mathbf{CD} = \mathbf{a}).

Теперь, выразим точки (M) и (N) через данные отношения:

1. Так как (AM = MB), то точка (M) является серединой отрезка (AB). Значит, вектор (\mathbf{AM}) можно выразить как половину вектора (\mathbf{AB}): [ \mathbf{AM} = \frac{1}{2} \mathbf{a} ]

2. По условию, (AN:ND = 3:4), следовательно, точка (N) делит отрезок (AD) в отношении (3:4). Это означает, что вектор (\mathbf{AN}) можно выразить как: [ \mathbf{AN} = \frac{3}{7} \mathbf{b} ]

Теперь найдем векторы (\mathbf{CM}), (\mathbf{CN}) и (\mathbf{MN}):

1. Вектор (\mathbf{CM}) можно выразить как разность векторов (\mathbf{C}) и (\mathbf{M}): [ \mathbf{CM} = \mathbf{C} - \mathbf{M} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) - \left(\mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{a}\right) = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a} = \frac{1}{2} \mathbf{a} + \mathbf{b} ] Подставляя (\mathbf{a} = -\mathbf{x}) и (\mathbf{b} = \mathbf{y}), получаем: [ \mathbf{CM} = \frac{1}{2} (-\mathbf{x}) + \mathbf{y} = -\frac{1}{2} \mathbf{x} + \mathbf{y} ]

2. Вектор (\mathbf{CN}) выражается аналогично: [ \mathbf{CN} = \mathbf{C} - \mathbf{N} = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) - \left(\mathbf{A} + \frac{3}{7} \mathbf{b}\right) = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \frac{3}{7} \mathbf{b} = \mathbf{a} + \frac{4}{7} \mathbf{b} ] Подставляя (\mathbf{a} = -\mathbf{x}) и (\mathbf{b} = \mathbf{y}), получаем: [ \mathbf{CN} = -\mathbf{x} + \frac{4}{7} \mathbf{y} ]

3. Вектор (\mathbf{MN}) можно получить как разность векторов (\mathbf{N}) и (\mathbf{M}): [ \mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M} = \left(\mathbf{A} + \frac{3}{7} \mathbf{b}\right) - \left(\mathbf{A} + \frac{1}{2} \mathbf{a}\right) = \frac{3}{7} \mathbf{b} - \frac{1}{2} \mathbf{a} ] Подставляя (\mathbf{a} = -\mathbf{x}) и (\mathbf{b} = \mathbf{y}), получаем: [ \mathbf{MN} = \frac{3}{7} \mathbf{y} - \frac{1}{2} (-\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \mathbf{x} + \frac{3}{7} \mathbf{y} ]

Таким образом, векторы (\mathbf{CM}), (\mathbf{CN}) и (\mathbf{MN}) выражаются через (\mathbf{x}) и (\mathbf{y}) следующим образом:

• (\mathbf{CM} = -\frac{1}{2} \mathbf{x} + \mathbf{y})
• (\mathbf{CN} = -\mathbf{x} + \frac{4}{7} \mathbf{y})
• (\mathbf{MN} = \frac{1}{2} \mathbf{x} + \frac{3}{7} \mathbf{y})