На сторонах BC и CD параллелограмма АBCD взяты соответственно точки M и N так что М- середина ВС. CN:ND=...

Для того чтобы выразить векторы ( \vec{AM} ), ( \vec{AN} ), и ( \vec{MN} ) через векторы ( \vec{x} = \vec{AB} ) и ( \vec{y} = \vec{AD} ) в параллелограмме ( ABCD ), мы можем использовать свойства векторов и деления отрезков в данной геометрической фигуре.

1. Вектор ( \vec{AM} )

Точка ( M ) является серединой стороны ( BC ). Значит, вектор ( \vec{BM} ) равен ( \frac{1}{2}\vec{BC} ). Вектор ( \vec{BC} ) можно выразить через ( \vec{x} ) и ( \vec{y} ), поскольку ( \vec{BC} = \vec{B} + \vec{DC} = \vec{B} - \vec{D} = \vec{x} - \vec{y} ). Тогда: [ \vec{BM} = \frac{1}{2} (\vec{x} - \vec{y}) ] И так как ( \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{x} + \frac{1}{2} (\vec{x} - \vec{y}) ): [ \vec{AM} = \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{x} - \frac{1}{2} \vec{y} = \frac{3}{2} \vec{x} - \frac{1}{2} \vec{y} ]

2. Вектор ( \vec{AN} )

Точка ( N ) делит ( CD ) в отношении 1 к 3, начиная от ( C ). Тогда ( \vec{CN} = \frac{1}{4} \vec{CD} ) и ( \vec{CD} = -\vec{y} ): [ \vec{CN} = \frac{1}{4} (-\vec{y}) = -\frac{1}{4} \vec{y} ] И так как ( \vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{y} + \vec{CN} = \vec{y} - \frac{1}{4} \vec{y} ): [ \vec{AN} = \vec{y} - \frac{1}{4} \vec{y} = \frac{3}{4} \vec{y} ]

3. Вектор ( \vec{MN} )

Вектор ( \vec{MN} ) можно найти как ( \vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} ): [ \vec{MN} = \left(\frac{3}{4} \vec{y}\right) - \left(\frac{3}{2} \vec{x} - \frac{1}{2} \vec{y}\right) = \frac{3}{4} \vec{y} - \frac{3}{2} \vec{x} + \frac{1}{2} \vec{y} = -\frac{3}{2} \vec{x} + \frac{5}{4} \vec{y} ]

Таким образом, векторы выражены следующим образом:

• ( \vec{AM} = \frac{3}{2} \vec{x} - \frac{1}{2} \vec{y} )
• ( \vec{AN} = \frac{3}{4} \vec{y} )
• ( \vec{MN} = -\frac{3}{2} \vec{x} + \frac{5}{4} \vec{y} )

Для решения данной задачи обозначим векторы AB = x и AD = y. Также обозначим векторы AM = a и AN = b, а вектор MN = c.

Так как M - середина отрезка BC, то вектор a = 0,5(x + y), так как середина отрезка делит его пополам.

Также из условия CN:ND = 1:3 следует, что вектор CN = 1/4(x + y), а вектор ND = 3/4(x + y).

Теперь найдем векторы c и b. Так как AB = AD + DB, где DB = ND - NB, то:

x = y + 3/4(x + y) - 1/4(x + y), x = y + 3/4x + 3/4y - 1/4x - 1/4y, x = 1/2x + 1/2y, x = a.

Таким образом, векторы c и b равны x.

Итак, векторы AM, AN и MN равны соответственно 0,5(x + y), x и x.

Вектор AM = (x/2) + (3y/4) Вектор AN = (3x/2) + (y/4) Вектор MN = (x/2) - (y/2)