На сторонах угла САD отмечены точки В и Е так что точка В лежит на отрезке АС а точка Е на отрезке АС...

Угол АВD равен 105 градусов.

Рассмотрим угол ( \angle CAD ) с вершиной в точке ( A ). На сторонах ( AC ) и ( AD ) этого угла отмечены точки ( B ) и ( E ) соответственно, такие что ( B ) лежит на отрезке ( AC ), а ( E ) на отрезке ( AD ). Дано, что ( AC = AD ) и ( AB = AE ). Необходимо найти угол ( \angle ABD ), если известно, что ( \angle CED = 75^\circ ).

1. Пусть (\alpha = \angle CAD). Так как ( AC = AD ), треугольник ( ACD ) равнобедренный и ( \angle ACD = \angle ADC = \frac{180^\circ - \alpha}{2} ).

2. Рассмотрим треугольники ( \triangle ABE ) и ( \triangle ACD ):

   • ( AB = AE ) implies that ( \triangle ABE ) равнобедренный.
   • Аналогично, ( AC = AD ) implies that ( \triangle ACD ) равнобедренный.

3. Так как ( AB = AE ), то ( B ) и ( E ) симметричны относительно биссектрисы угла ( \angle CAD ).

4. Пусть ( O ) - точка пересечения биссектрисы угла ( \angle CAD ) с отрезком ( BE ). Тогда ( AO ) является также биссектрисой угла ( \angle BAC ).

5. Рассмотрим угол ( \angle CED ):

   • ( \angle CED = 75^\circ ).
   • ( \angle CED = \angle CEA + \angle AED ), поскольку ( E ) на отрезке ( AD ) и ( C ) на отрезке ( AC ).

6. Рассмотрим треугольники ( \triangle ABE ) и ( \triangle ACD ):

   • Мы знаем, что ( \angle BAE = \angle CAE = \alpha ).
   • Поскольку ( AB = AE ) и ( AC = AD ), треугольники ( \triangle ABE ) и ( \triangle ACD ) имеют равные углы при вершине ( A ).

7. Теперь найдем угол ( \angle ABD ):

   • Поскольку ( AD = AC ), тогда ( \angle CAD = 2\alpha ).
   • Учитывая, что ( \angle CED = 75^\circ ), и ( E ) и ( B ) симметричны относительно биссектрисы ( AO ).

8. Рассмотрим, что следовательно ( \angle BAE = \alpha ) и ( \angle ABE = \angle ABD = \frac{180^\circ - 75^\circ}{2} ):

   • Симметрия относительно биссектрисы угла ( CAD ) и равенство сторон приводит нас к выводу, что ( \angle ABD ) равен половине угла ( \angle CED ).

9. Итак, угол ( \angle ABD ) равен ( \frac{75^\circ}{2} = 37.5^\circ ).

Таким образом, ( \angle ABD = 37.5^\circ ).

Для нахождения угла АВD нам необходимо использовать свойство углов, образованных при пересечении прямых. Из условия известно, что угол СЕD = 75 градусов. Так как АС = АD и АВ = АЕ, то треугольники АВЕ и АСD равнобедренные.

Таким образом, у нас есть два угла: угол САВ и угол САD, которые равны друг другу. Так как угол СЕD = 75 градусов, то угол САВ и угол САD также равны 75 градусов.

Теперь мы можем найти угол АВD. Поскольку угол АВЕ = угол АЕВ и угол САВ = угол САD, то угол АВD равен сумме углов САD и СЕD, то есть 75 + 75 = 150 градусов.

Итак, угол АВD равен 150 градусов.