На сторонах ВС и СД параллелограмма АВСД отмечены точки К и Е, так что ВК=КС. СЕ:ЕД=2:3. Выразите векторы...

Вектор АК = 1/3 вектор А, вектор КЕ = 1/5 вектор В, вектор АЕ = 4/15 вектор А + 2/15 вектор В.

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства векторов и их линейные комбинации. Векторы ( \vec{A} = \vec{AB} ) и ( \vec{B} = \vec{AD} ) являются базовыми векторами для параллелограмма ( ABCD ).

1. Выразим ( \vec{AK} ) через ( \vec{A} ) и ( \vec{B} ): Точка ( K ) делит сторону ( BC ) пополам, поэтому вектор ( \vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC} ). Заметим, что вектор ( \vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} ) (так как ( C = A + \vec{B} ) и ( B = A + \vec{A} )). Таким образом, ( \vec{BK} = \frac{1}{2} (\vec{B} - \vec{A}) ). Теперь, ( \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{A} + \frac{1}{2} (\vec{B} - \vec{A}) = \frac{1}{2} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{B} ).

2. Выразим ( \vec{KE} ) через ( \vec{A} ) и ( \vec{B} ): Точка ( E ) делит ( CD ) в отношении 2:3, то есть ( \vec{CE} = \frac{2}{5} \vec{CD} ). Поскольку ( \vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{B} - \vec{A} ), то ( \vec{CE} = \frac{2}{5} (\vec{B} - \vec{A}) ). Точка ( C ) равна ( A + \vec{B} ), так что ( \vec{KC} = \vec{C} - \vec{K} = \vec{B} - (\frac{1}{2} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{B}) = \frac{1}{2} \vec{B} - \frac{1}{2} \vec{A} ). Тогда ( \vec{KE} = \vec{CE} - \vec{KC} = \frac{2}{5} (\vec{B} - \vec{A}) - (\frac{1}{2} \vec{B} - \frac{1}{2} \vec{A}) = -\frac{1}{10} \vec{A} + \frac{1}{10} \vec{B} ).

3. Выразим ( \vec{AE} ) через ( \vec{A} ) и ( \vec{B} ): ( \vec{AE} = \vec{AK} + \vec{KE} = (\frac{1}{2} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{B}) + (-\frac{1}{10} \vec{A} + \frac{1}{10} \vec{B}) = \frac{4}{10} \vec{A} + \frac{6}{10} \vec{B} = \frac{2}{5} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{B} ).

Итак, векторы ( \vec{AK} ), ( \vec{KE} ) и ( \vec{AE} ) через ( \vec{A} ) и ( \vec{B} ) будут:

• ( \vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{A} + \frac{1}{2} \vec{B} )
• ( \vec{KE} = -\frac{1}{10} \vec{A} + \frac{1}{10} \vec{B} )
• ( \vec{AE} = \frac{2}{5} \vec{A} + \frac{3}{5} \vec{B} )

Для начала обозначим векторы:

• Вектор АК = Вектор ВК = 1/3 * В
• Вектор КЕ = Вектор СЕ = 2/5 * (В - А)
• Вектор АЕ = Вектор АК + Вектор КЕ = 1/3 В + 2/5 (В - А)

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

• Вектор АЕ = 1/3 В + 2/5 В - 2/5 А = (5 В + 6 В - 6 А) / 15 = (11 В - 6 А) / 15

Таким образом, выражения векторов АК, КЕ, АЕ через векторы А и В будут следующими:

• Вектор АК = 1/3 * В
• Вектор КЕ = 2/5 * (В - А)
• Вектор АЕ = (11 В - 6 А) / 15