Начертите параллелограмм ABCD,постройте образ этого параллелограмма. а) при симметрии относительно точки...

Давайте рассмотрим каждое из заданий по очереди и подробно разберем, как построить образ параллелограмма ABCD в каждом случае.

а) Симметрия относительно точки D

Симметрия относительно точки означает, что каждая точка фигуры отображается на другую сторону этой точки на такое же расстояние. Для параллелограмма ABCD, симметрия относительно точки D заключается в следующем:

1. Определите координаты точек A, B, C, D. Допустим, они известны или заданы.
2. Найдите образы точек:
   • Образ точки A (назовем его A') будет получен так: A' = D + (D - A).
   • Образ точки B (B') будет: B' = D + (D - B).
   • Образ точки C (C') будет: C' = D + (D - C).
3. Постройте параллелограмм A'B'C'D'. Поскольку D является центром симметрии, точка D останется на месте.

б) Симметрия относительно прямой CD

Симметрия относительно прямой подразумевает, что каждая точка фигуры отображается на другую сторону прямой на такое же расстояние по перпендикуляру к прямой. Для симметрии относительно CD:

1. Определите уравнение прямой CD.
2. Проведите перпендикуляры из точек A и B к прямой CD.
3. Определите образы точек:
   • Образ точки A (A') будет на той же перпендикулярной линии на таком же расстоянии от CD, но с другой стороны.
   • Образ точки B (B') аналогичным образом.
4. Постройте параллелограмм A'B'C'D'. Точки C и D останутся на своих местах, так как они лежат на оси симметрии.

в) Параллельный перенос на вектор BD

Параллельный перенос подразумевает, что каждая точка фигуры сдвигается на одинаковый вектор. Для переноса на вектор BD:

1. Определите вектор BD как разницу координат точек B и D.
2. Найдите образы точек:
   • Образ точки A (A') будет: A' = A + BD.
   • Образ точки B (B') будет: B' = B + BD.
   • Образ точки C (C') будет: C' = C + BD.
   • Образ точки D (D') будет: D' = D + BD.
3. Постройте параллелограмм A'B'C'D'.

г) Поворот вокруг точки A на 45 градусов против часовой стрелки

Поворот фигуры вокруг точки подразумевает изменение положения всех точек на определенный угол относительно заданной точки (в данном случае, точки A):

1. Определите угол поворота: 45 градусов против часовой стрелки.
2. Используйте формулы поворота для каждой точки (B, C, D):
   • Если точка P имеет координаты (x, y), то после поворота на угол θ вокруг точки A с координатами (a, b), новая точка P' будет иметь координаты:
     • x' = a + (x - a) cos(θ) - (y - b) sin(θ)
     • y' = b + (x - a) sin(θ) + (y - b) cos(θ)
3. Постройте параллелограмм A'B'C'D'. Поскольку A является центром поворота, эта точка останется на месте.

В каждом из этих случаев важно точно проводить вычисления и чертежи, чтобы получить правильный образ параллелограмма.

а) Образ параллелограмма ABCD при симметрии относительно точки D - параллелограмм A'B'C'D', где A' и C' симметричны относительно D, а B' и D' симметричны относительно середины отрезка DC.

б) Образ параллелограмма ABCD при симметрии относительно прямой CD - параллелограмм A'B'C'D', где A' и C' симметричны относительно CD, а B' и D' симметричны относительно точки пересечения диагоналей.

в) Образ параллелограмма ABCD при параллельном переносе на вектор BD - параллелограмм ABCD останется параллелограммом, но его положение изменится так, что каждая точка параллелограмма сдвинется на вектор BD.

г) Образ параллелограмма ABCD при повороте вокруг точки A на 45 градусов против часовой стрелки - получится параллелограмм A'B'C'D', где все стороны будут равны сторонам ABCD, но углы будут повернуты на 45 градусов против часовой стрелки.

Для начертания параллелограмма ABCD мы проводим две параллельные прямые AB и CD, где AB = CD и AD = BC.

а) При симметрии относительно точки D образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'B'C'D', где D' будет симметрична точке D относительно середины отрезка AC.

б) При симметрии относительно прямой CD образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'B'C'D', где A' и C' будут симметричны точкам A и C относительно прямой CD.

в) При параллельном переносе на вектор BD образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'B'C'D', где A' = A + BD, B' = B + BD, C' = C + BD, D' = D + BD.

г) При повороте вокруг точки A на 45 градусов против часовой стрелки образом параллелограмма ABCD будет параллелограмм A'B'C'D', где B' будет точкой, полученной поворотом точки B на 45 градусов вокруг точки A.