Найди все числа, которым соответствует на числовой окружности точка M(5π\6) нужно записать в виде дроби

Числовая окружность — это окружность радиуса 1, на которой точки соответствуют углам, измеряемым в радианах. Углы начинаются с ( 0 ) в точке ((1,0)) на оси (x), и увеличиваются против часовой стрелки. Один полный оборот по окружности соответствует углу (2\pi).

Дано: точка (M) соответствует углу ( \frac{5\pi}{6} ). Требуется найти все числа (углы), которым может соответствовать эта точка.

1. Основное значение

Угол ( \frac{5\pi}{6} ) уже дан в задаче. Это базовый угол, который соответствует данной точке (M). Он находится во второй четверти числовой окружности, так как ( \frac{5\pi}{6} > \frac{\pi}{2} ), но ( \frac{5\pi}{6} < \pi ).

2. Периодичность

На числовой окружности углы повторяются через один полный оборот, то есть через (2\pi). Это значит, что любое число вида:

[ \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, ]

будет соответствовать той же самой точке (M), где (k) — целое число, которое показывает количество полных оборотов (в прямом или обратном направлении).

3. Общая формула

Все углы, которым соответствует точка (M), можно записать в виде:

[ \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Здесь:

• ( k = 0 ) даёт угол ( \frac{5\pi}{6} ),
• ( k = 1 ) даёт угол ( \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} ),
• ( k = -1 ) даёт угол ( \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} ),
• и так далее.

Таким образом, можно записать бесконечное множество углов, соответствующих данной точке, в виде дробей.

4. Ответ

Все числа, которым соответствует точка (M), задаются формулой:

[ \theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Это и есть полный ответ.

На числовой окружности каждая точка соответствует определённому углу, измеряемому в радианах. Угол ( M = \frac{5\pi}{6} ) радиан соответствует позиции на окружности, и мы можем определить его координаты на единичной окружности. Однако, чтобы найти все числа, которые соответствуют точке ( M ), необходимо рассмотреть, что такое числовая окружность и как она устроена.

1. Понимание числовой окружности

Числовая окружность — это круг, где каждая точка соответствует некоторому углу. Углы измеряются в радианах, и один полный оборот равен ( 2\pi ) радиан. Точка ( M \left(\frac{5\pi}{6}\right) ) находится в пределах от ( 0 ) до ( 2\pi ).

2. Углы, соответствующие точке ( M )

На числовой окружности каждый угол может быть выражен с помощью добавления или вычитания целого числа ( 2\pi n ), где ( n ) — целое число. Таким образом, все углы, которые соответствуют точке ( M ), могут быть записаны в виде:

[ \theta = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

3. Приведение к дробям

В данной задаче нас интересует представление угла ( \frac{5\pi}{6} ) в виде дроби. Мы можем рассмотреть ( \frac{5\pi}{6} ) как дробь, где числитель и знаменатель — это целые числа, а ( \pi ) — это константа, которую мы можем оставить в выражении. Важно отметить, что ( \frac{5}{6} ) — это стандартная дробь.

4. Все соответствующие углы

Таким образом, все углы, соответствующие точке ( M ), могут быть записаны в виде дробей:

[ \frac{5}{6} + 2n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

где ( 2n ) — это общее количество оборотов на окружности, соответствующее ( n ).

5. Пример

Если взять ( n = 0 ), то получим ( \frac{5\pi}{6} ). Если взять ( n = 1 ), получится:

[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} ]

Если взять ( n = -1 ):

[ \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} ]

6. Заключение

Таким образом, все числа, соответствующие точке ( M \left( \frac{5\pi}{6} \right) ) на числовой окружности, можно выразить в виде:

[ \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

где каждый элемент ( n ) представляет собой целое число, что указывает на количество полных оборотов вокруг окружности.