Найдите координаты вершины D параллелограмма abcd если A(1;6;-3),B(-5;3;-5),C(3;-1;1)

Для нахождения координат вершины ( D ) параллелограмма ( ABCD ), воспользуемся свойством параллелограммов: в параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

1. Нахождение координат середины диагонали:

   Пусть ( M ) — точка пересечения диагоналей ( AC ) и ( BD ). Координаты ( M ) можно выразить как среднее арифметическое координат концов диагоналей.

   [ M \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) ]

   Подставляем координаты точек ( A ) и ( C ):

   [ M \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{6 + (-1)}{2}, \frac{-3 + 1}{2} \right) = M \left( \frac{4}{2}, \frac{5}{2}, \frac{-2}{2} \right) = M \left( 2, \frac{5}{2}, -1 \right) ]

2. Координаты точки ( D ):

   Так как точка ( M ) также является серединой диагонали ( BD ), координаты точки ( D ) можно выразить через координаты точек ( B ) и ( M ).

   Пусть ( D(x_D, y_D, z_D) ). Тогда координаты ( M ) можно также выразить как среднее арифметическое координат ( B ) и ( D ):

   [ M \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2}, \frac{z_B + z_D}{2} \right) ]

   Подставляем известные координаты ( B ) и ( M ):

   [ \left( 2, \frac{5}{2}, -1 \right) = \left( \frac{-5 + x_D}{2}, \frac{3 + y_D}{2}, \frac{-5 + z_D}{2} \right) ]

   Решим систему уравнений:

   [ 2 = \frac{-5 + x_D}{2} ]

   [ 2 \times 2 = -5 + x_D ]

   [ 4 = -5 + x_D ]

   [ x_D = 9 ]

   [ \frac{5}{2} = \frac{3 + y_D}{2} ]

   [ 5 = 3 + y_D ]

   [ y_D = 2 ]

   [ -1 = \frac{-5 + z_D}{2} ]

   [ -2 = -5 + z_D ]

   [ z_D = 3 ]

Итак, координаты вершины ( D ) параллелограмма ( ABCD ) равны:

[ D(9, 2, 3) ]

Для нахождения координат вершины D параллелограмма abcd можно воспользоваться свойствами параллелограмма.

По свойству параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны. Таким образом, вектор AB равен вектору DC и вектор AC равен вектору BD.

Найдем вектор AB: AB = B - A = (-5 - 1; 3 - 6; -5 + 3) = (-6; -3; -2)

Найдем вектор AC: AC = C - A = (3 - 1; -1 - 6; 1 + 3) = (2; -7; 4)

Теперь найдем координаты вершины D, зная, что вектор AC равен вектору BD: D = B + AC = (-5 + 2; 3 - 7; -5 + 4) = (-3; -4; -1)

Таким образом, координаты вершины D параллелограмма abcd равны (-3; -4; -1).