Найдите косинус меньшего угла треугольника, стороны которого 2 см 3 см 4см А)3/7 Б)3/8 В)5/8 Г)7/8 Д)5/7...

Чтобы найти косинус меньшего угла треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 4 см, воспользуемся теоремой косинусов. Эта теорема утверждает, что для любого треугольника с сторонами (a), (b) и (c) и углом (\gamma) между сторонами (a) и (b) выполняется следующее равенство:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) ]

В данном случае мы имеем треугольник с сторонами (a = 2) см, (b = 3) см и (c = 4) см. Нам нужно найти косинус угла, противолежащего самой длинной стороне (c = 4) см.

Подставляем значения в формулу:

[ 4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(\gamma) ]

Считаем квадратные значения:

[ 16 = 4 + 9 - 12 \cos(\gamma) ]

Упрощаем уравнение:

[ 16 = 13 - 12 \cos(\gamma) ]

Переносим 13 на левую сторону:

[ 16 - 13 = -12 \cos(\gamma) ]

Получаем:

[ 3 = -12 \cos(\gamma) ]

Теперь делим обе стороны на -12:

[ \cos(\gamma) = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} ]

Теперь, чтобы найти меньший угол, необходимо рассмотреть другие углы треугольника. Нам нужно найти углы, противолежащие сторонам 2 см и 3 см, чтобы определить, какой из углов меньше.

1. Найдем угол (\beta), противолежащий стороне 2 см:

[ a = 3 \text{ см}, b = 4 \text{ см}, c = 2 \text{ см} ]

Подставим в формулу косинусов:

[ 2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(\beta) ]

Считаем:

[ 4 = 9 + 16 - 24 \cos(\beta) ]

Упрощаем:

[ 4 = 25 - 24 \cos(\beta) ]

Переносим 25 на левую сторону:

[ 4 - 25 = -24 \cos(\beta) ]

Получаем:

[ -21 = -24 \cos(\beta) ]

Делим на -24:

[ \cos(\beta) = \frac{21}{24} = \frac{7}{8} ]

1. Теперь найдем угол (\alpha), противолежащий стороне 3 см:

[ a = 2 \text{ см}, b = 4 \text{ см}, c = 3 \text{ см} ]

Подставим в формулу косинусов:

[ 3^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(\alpha) ]

Считаем:

[ 9 = 4 + 16 - 16 \cos(\alpha) ]

Упрощаем:

[ 9 = 20 - 16 \cos(\alpha) ]

Переносим 20 на левую сторону:

[ 9 - 20 = -16 \cos(\alpha) ]

Получаем:

[ -11 = -16 \cos(\alpha) ]

Делим на -16:

[ \cos(\alpha) = \frac{11}{16} ]

Теперь мы имеем значения косинусов для обоих углов:

• (\cos(\beta) = \frac{7}{8}) (угол противолежащий стороне 2 см)
• (\cos(\alpha) = \frac{11}{16}) (угол противолежащий стороне 3 см)

Сравнивая значения, мы видим, что меньшее значение косинуса относится к углу (\alpha), который противолежит стороне 3 см.

Таким образом, меньший угол треугольника соответствует (\cos(\beta) = \frac{7}{8}), и правильный ответ - вариант Г) ( \frac{7}{8} ).

Для нахождения косинуса меньшего угла треугольника, можно использовать теорему косинусов. В треугольнике с длинами сторон ( a = 2 \, \text{см} ), ( b = 3 \, \text{см} ), ( c = 4 \, \text{см} ) формула выглядит следующим образом:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]

где ( C ) — угол противолежащий стороне ( c ).

Для нахождения угла ( C ):

[ 4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos(C) ] [ 16 = 4 + 9 - 12 \cos(C) ] [ 16 = 13 - 12 \cos(C) ] [ 3 = -12 \cos(C) ] [ \cos(C) = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} ]

Теперь найдем косинусы других углов, чтобы определить, какой из них меньший.

Для угла ( A ) (противолежащего стороне ( a )):

[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) ] [ 2^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos(A) ] [ 4 = 9 + 16 - 24 \cos(A) ] [ 4 = 25 - 24 \cos(A) ] [ 24 \cos(A) = 21 ] [ \cos(A) = \frac{21}{24} = \frac{7}{8} ]

Для угла ( B ) (противолежащего стороне ( b )):

[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) ] [ 3^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos(B) ] [ 9 = 4 + 16 - 16 \cos(B) ] [ 9 = 20 - 16 \cos(B) ] [ 16 \cos(B) = 11 ] [ \cos(B) = \frac{11}{16} ]

Теперь сравним косинусы углов:

• ( \cos(A) = \frac{7}{8} )
• ( \cos(B) = \frac{11}{16} )
• ( \cos(C) = -\frac{1}{4} )

Наименьший из этих углов — угол ( C ), так как его косинус отрицательный.

Таким образом, меньший угол имеет косинус:

[ \cos(C) = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} ]

Однако, поскольку все предложенные варианты положительные, мы ищем косинусы других углов.

Таким образом, правильный ответ — ( \cos(A) = \frac{7}{8} ) или ( \cos(B) = \frac{11}{16} ), но среди предложенных вариантов наименее отрицательным является ( \frac{3}{8} ).

Следовательно, правильный ответ: Г) 7/8.

Для того чтобы найти косинус меньшего угла треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 4 см, воспользуемся теоремой косинусов. Рассмотрим шаги решения:

Шаг 1. Убедимся, что треугольник существует

Стороны треугольника должны удовлетворять неравенству треугольника: сумма любых двух сторон должна быть больше третьей.

• ( 2 + 3 = 5 > 4 ) — выполняется,
• ( 2 + 4 = 6 > 3 ) — выполняется,
• ( 3 + 4 = 7 > 2 ) — выполняется.

Следовательно, треугольник существует.

Шаг 2. Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma, ] где ( c ) — сторона треугольника, лежащая напротив угла (\gamma), а ( a ) и ( b ) — две другие стороны. Из этой формулы можно выразить косинус угла: [ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. ]

Шаг 3. Вычислим косинусы углов

Найдем косинус углов по очереди, чтобы определить меньший угол.

1. Косинус угла напротив стороны 4 см

Для угла напротив стороны ( c = 4 ), ( a = 2 ), ( b = 3 ): [ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3}. ] Подставим значения: [ \cos \gamma = \frac{4 + 9 - 16}{12} = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4}. ] Этот угол тупой, так как косинус отрицательный.

2. Косинус угла напротив стороны 3 см

Для угла напротив стороны ( c = 3 ), ( a = 2 ), ( b = 4 ): [ \cos \beta = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 4^2 - 3^2}{2 \cdot 2 \cdot 4}. ] Подставим значения: [ \cos \beta = \frac{4 + 16 - 9}{16} = \frac{11}{16}. ]

3. Косинус угла напротив стороны 2 см

Для угла напротив стороны ( c = 2 ), ( a = 3 ), ( b = 4 ): [ \cos \alpha = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4}. ] Подставим значения: [ \cos \alpha = \frac{9 + 16 - 4}{24} = \frac{21}{24} = \frac{7}{8}. ]

Шаг 4. Определим меньший угол

Косинус угла принимает значение от -1 до 1, и чем больше косинус, тем меньше угол (в пределах острых углов). Среди вычисленных косинусов:

• ( \cos \gamma = -\frac{1}{4} ) (тупой угол, не рассматриваем),
• ( \cos \beta = \frac{11}{16} ),
• ( \cos \alpha = \frac{7}{8} ).

Наибольшее значение косинуса — ( \frac{7}{8} ), и оно соответствует меньшему углу. Таким образом, меньший угол — тот, который лежит напротив стороны 2 см.

Ответ:

Косинус меньшего угла равен ( \frac{7}{8} ). Верный вариант: Г) ( \frac{7}{8} ).