Найдите косинус угла А треугольника АВС, если А(3; 9), В(0; 6), С(4; 2).

Для нахождения косинуса угла ( A ) в треугольнике ( ABC ) с вершинами ( A(3, 9) ), ( B(0, 6) ), и ( C(4, 2) ), мы можем использовать формулу косинуса угла между двумя векторами. Нам нужно сначала найти векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ), а затем применить формулу.

1. Находим векторы ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ):

   • ( \vec{AB} = B - A = (0 - 3, 6 - 9) = (-3, -3) )
   • ( \vec{AC} = C - A = (4 - 3, 2 - 9) = (1, -7) )

2. Подставляем в формулу для косинуса угла между векторами: [ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} ] где "точка" обозначает скалярное произведение векторов, а нормы (длины) векторов находятся через квадратный корень из суммы квадратов компонент.

3. Вычисляем скалярное произведение ( \vec{AB} \cdot \vec{AC} ): [ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-3) \times 1 + (-3) \times (-7) = -3 + 21 = 18 ]

4. Находим нормы векторов ( |\vec{AB}| ) и ( |\vec{AC}| ):

   • ( |\vec{AB}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} )
   • ( |\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} )

5. Подставляем значения в формулу для косинуса: [ \cos \theta = \frac{18}{(3\sqrt{2}) \times (5\sqrt{2})} = \frac{18}{15 \times 2} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5} ]

Итак, косинус угла ( A ) треугольника ( ABC ) равен ( \frac{3}{5} ).

Для того чтобы найти косинус угла А треугольника АВС, нам необходимо сначала найти длины сторон треугольника, а затем применить формулу косинуса.

Длины сторон треугольника можно найти используя формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) AC = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2) BC = √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2)

AB = √((0 - 3)^2 + (6 - 9)^2) = √((-3)^2 + (-3)^2) = √(9 + 9) = √18 AC = √((4 - 3)^2 + (2 - 9)^2) = √(1^2 + (-7)^2) = √(1 + 49) = √50 BC = √((4 - 0)^2 + (2 - 6)^2) = √(4^2 + (-4)^2) = √(16 + 16) = √32

Теперь найдем косинус угла А с помощью формулы косинуса:

cos(A) = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 BC AC) cos(A) = (32 + 50 - 18) / (2 √32 √50) cos(A) = 64 / (2 8 5) cos(A) = 64 / 80 cos(A) = 0.8

Итак, косинус угла А треугольника АВС равен 0.8.