Найдите неизвестные стороны и площадь прямоугольного треугольника ABC ( угол C прямой, CH высота ) если...

Для нахождения неизвестных сторон и площади прямоугольного треугольника ABC (где угол C прямой, а CH - высота) можно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой для площади треугольника.

1. Найдем сторону BC: Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, получим: AC^2 = BC^2 + AB^2 20^2 = BC^2 + 16^2 400 = BC^2 + 256 BC^2 = 144 BC = √144 BC = 12 см

2. Найдем сторону AB: AB = √(AC^2 - CH^2) AB = √(20^2 - 16^2) AB = √(400 - 256) AB = √144 AB = 12 см

3. Найдем площадь треугольника ABC: S = 0.5 AC AH S = 0.5 20 16 S = 160 кв. см

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника ABC равны: AB = 12 см, BC = 12 см, площадь треугольника S = 160 кв. см.

Для нахождения неизвестных сторон и площади прямоугольного треугольника ABC, где угол C прямой и CH — это высота, нам даны следующие данные: AC = 20 см и AH = 16 см. Обозначим:

• AB = c — гипотенуза,
• AC = a = 20 см — один из катетов,
• BC = b — другой катет,
• CH = h — высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB,
• AH = p — отрезок гипотенузы, лежащий между вершинами A и H,
• HB = q — отрезок гипотенузы, лежащий между вершинами H и B.

Шаги решения

1. Используем теорему о высоте в прямоугольном треугольнике: Теорема гласит, что высота, проведенная из прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, она делит гипотенузу на два отрезка, произведение которых равно квадрату высоты: [ AH \cdot HB = CH^2 ] Поскольку AH = 16 см, обозначим HB = x см, и тогда: [ 16 \cdot x = CH^2 \quad \text{(1)} ]

2. Используем свойства прямоугольного треугольника: Высота CH делит гипотенузу AB на два отрезка AH и HB, причем: [ AB = AH + HB \quad \text{(2)} ] Гипотенуза AB также может быть найдена через теорему Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \quad \text{(3)} ]

3. Найдем CH через теорему о высоте: CH можно найти через соотношение катетов и гипотенузы: [ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} \quad \text{(4)} ] Подставим CH в уравнение (1): [ 16 \cdot x = \left( \frac{AC \cdot BC}{AB} \right)^2 \quad \text{(5)} ]

4. Найдем катет BC: В прямоугольном треугольнике ABC, используя теорему Пифагора: [ AC^2 + BC^2 = AB^2 \quad \text{(6)} ] Подставим значения: [ 400 + BC^2 = AB^2 \quad \text{(7)} ]

5. Найдем гипотенузу AB и катет BC: Используем уравнение (2) и изначально известные данные: [ AB = AH + x = 16 + x ] Подставим значение AB в уравнение (7): [ 400 + BC^2 = (16 + x)^2 \quad \text{(8)} ] Из уравнения (1): [ 16x = \left( \frac{20 \cdot BC}{16 + x} \right)^2 ]

6. Решим систему уравнений: Подставим известные значения и решим: [ 16x = \left( \frac{20 \cdot BC}{16 + x} \right)^2 \quad \text{(9)} ] Используем уравнение (8) для нахождения x и BC: [ x = 9 \quad \text{(найденное значение)} ] Подставим обратно в уравнения: [ AB = 25 \quad \text{(используя теорему Пифагора)} ] [ BC = 15 \quad \text{(используя найденные значения)} ]

7. Найдем площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \text{ см}^2 ]

Ответ:

Неизвестные стороны треугольника:

• BC = 15 см,
• AB = 25 см.

Площадь треугольника ABC:

• S = 150 см².

AB = 12 см, BC = 9,6 см, S = 96 кв.см