Найдите объём конуса, образующая которого равна 3 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов...

Для нахождения объема конуса с данной образующей и углом наклона к плоскости основания необходимо использовать формулу объема конуса:

V = (1/3) π r^2 * h,

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Для начала найдем радиус основания конуса. Образующая конуса равна 3, а наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. Образующая конуса, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая служит гипотенузой, а радиус и высота - катетами. Таким образом, можно использовать тригонометрические соотношения для нахождения радиуса:

sin(30 градусов) = r / 3, r = 3 sin(30 градусов) = 3 0.5 = 1.5.

Теперь найдем высоту конуса. Высота конуса равна проекции образующей на основание, что равно 3 cos(30 градусов) = 3 √3 / 2.

Подставляем найденные значения в формулу объема конуса:

V = (1/3) π 1.5^2 3 √3 / 2 = 3.375 π √3.

Таким образом, объем конуса, образующая которого равна 3 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, равен 3.375 π √3.

Чтобы найти объем конуса, нам нужно знать его радиус основания ( r ) и высоту ( h ). Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

В задаче дана длина образующей ( l = 3 ) и угол (\theta = 30^\circ) между образующей и плоскостью основания. Этот угол поможет нам найти радиус и высоту конуса.

Найдем радиус основания ( r ):

Мы знаем, что (\cos(\theta)) дает соотношение между высотой ( h ) и длиной образующей ( l ):

[ \cos(30^\circ) = \frac{h}{l} ]

Подставим известные значения:

[ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{3} ]

Решим уравнение относительно ( h ):

[ h = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} ]

Найдем радиус основания ( r ):

Используем (\sin(\theta)) для выражения радиуса через длину образующей:

[ \sin(30^\circ) = \frac{r}{l} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{1}{2} = \frac{r}{3} ]

Решим уравнение относительно ( r ):

[ r = \frac{3}{2} ]

Найдем объем конуса:

Теперь, имея ( r = \frac{3}{2} ) и ( h = \frac{3\sqrt{3}}{2} ), подставим эти значения в формулу для объема:

[ V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right) ]

Упростим выражение:

[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} ]

[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} \cdot \pi \sqrt{3} ]

[ V = \frac{9\sqrt{3}}{8} \pi ]

Таким образом, объем конуса равен (\frac{9\sqrt{3}}{8} \pi) кубических единиц.