Найдите объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со...

Для нахождения объема наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной 2 см, и боковое ребро равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60°, нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Нахождение площади основания

Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной ( a = 2 ) см. Площадь ( S ) равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ]

Подставим значение стороны:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Шаг 2: Нахождение высоты призмы

Боковое ребро призмы наклонено к плоскости основания под углом ( \alpha = 60^\circ ). Длина бокового ребра равна длине стороны основания, то есть ( 2 ) см.

Чтобы найти высоту призмы ( h ), мы можем использовать тригонометрические соотношения. Высота призмы будет равна длине бокового ребра, умноженной на синус угла наклона:

[ h = b \cdot \sin(\alpha) ]

где ( b = 2 ) см и ( \alpha = 60^\circ ):

[ h = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \, \text{см} ]

Шаг 3: Нахождение объема призмы

Объем ( V ) наклонной призмы можно найти по формуле:

[ V = S \cdot h ]

Где ( S ) — площадь основания, а ( h ) — высота призмы. Подставим ранее найденные значения:

[ V = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \, \text{см}^3 ]

Ответ

Объем наклонной треугольной призмы равен ( 3 \, \text{см}^3 ).

Чтобы найти объем наклонной треугольной призмы, давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

1. Основанием призмы является равносторонний треугольник со стороной ( a = 2 \, \text{см} ).
2. Боковое ребро призмы ( l = 2 \, \text{см} ) и наклонено к основанию под углом ( \alpha = 60^\circ ).

Шаг 1. Формула для объема наклонной призмы

Объем наклонной призмы можно найти по формуле: [ V = S_{\text{осн}} \cdot h, ] где:

• ( S_{\text{осн}} ) — площадь основания (равностороннего треугольника),
• ( h ) — высота призмы, то есть перпендикулярное расстояние между основаниями.

Шаг 2. Найдем площадь основания (( S_{\text{осн}} ))

Площадь равностороннего треугольника с длиной стороны ( a ) вычисляется по формуле: [ S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2. ] Подставим ( a = 2 ): [ S{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4 = \sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

Шаг 3. Найдем высоту призмы (( h ))

Высота ( h ) — это проекция бокового ребра ( l ) на перпендикуляр к основанию. Поскольку боковое ребро наклонено под углом ( \alpha = 60^\circ ), то: [ h = l \cdot \cos \alpha. ] Подставим ( l = 2 \, \text{см} ) и ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ): [ h = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \, \text{см}. ]

Шаг 4. Вычислим объем призмы (( V ))

Теперь можно найти объем призмы: [ V = S{\text{осн}} \cdot h. ] Подставим значения ( S{\text{осн}} = \sqrt{3} \, \text{см}^2 ) и ( h = 1 \, \text{см} ): [ V = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} \, \text{см}^3. ]

Ответ:

Объем наклонной треугольной призмы равен: [ \boxed{\sqrt{3} \, \text{см}^3}. ]