Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро равно 10, а сторона основания...

Для нахождения объема правильной четырёхугольной пирамиды нужно использовать формулу:

[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h, ]

где ( S_{осн} ) — площадь основания пирамиды, а ( h ) — высота пирамиды.

Давайте решим задачу пошагово.

Дано:

1. Боковое ребро (апофема пирамиды) ( l = 10 ),
2. Сторона основания (длина стороны квадрата) ( a = 8\sqrt{3} ).

Шаг 1. Найдём площадь основания (( S_{осн} )).

Основание пирамиды — правильный четырёхугольник (квадрат) со стороной ( a = 8\sqrt{3} ). Площадь квадрата вычисляется по формуле:

[ S_{осн} = a^2. ]

Подставим значение ( a ):

[ S_{осн} = (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192. ]

Итак, площадь основания ( S_{осн} = 192 ).

Шаг 2. Найдём высоту пирамиды (( h )).

Высота ( h ) пирамиды соединяет вершину пирамиды с центром основания и перпендикулярна этому основанию. В правильной четырёхугольной пирамиде высота, боковое ребро и радиус окружности, описанной вокруг квадрата-основания, образуют прямоугольный треугольник.

Найдём радиус описанной окружности (( R )).

Описанная окружность квадрата имеет радиус, равный половине длины его диагонали. Диагональ квадрата вычисляется по формуле:

[ d = a\sqrt{2}. ]

Подставим значение ( a = 8\sqrt{3} ):

[ d = (8\sqrt{3})\sqrt{2} = 8\sqrt{6}. ]

Радиус окружности:

[ R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{6}}{2} = 4\sqrt{6}. ]

Применим теорему Пифагора.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой ( h ), радиусом ( R ) и боковым ребром ( l ), выполняется теорема Пифагора:

[ l^2 = h^2 + R^2. ]

Подставим известные значения (( l = 10 ) и ( R = 4\sqrt{6} )):

[ 10^2 = h^2 + (4\sqrt{6})^2. ]

Вычислим:

[ 100 = h^2 + 16 \cdot 6, ] [ 100 = h^2 + 96. ]

Найдём ( h^2 ):

[ h^2 = 100 - 96 = 4. ]

Следовательно:

[ h = \sqrt{4} = 2. ]

Итак, высота пирамиды ( h = 2 ).

Шаг 3. Найдём объём пирамиды (( V )).

Теперь используем формулу объёма пирамиды:

[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h. ]

Подставим значения ( S_{осн} = 192 ) и ( h = 2 ):

[ V = \frac{1}{3} \cdot 192 \cdot 2 = \frac{384}{3} = 128. ]

Ответ:

Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен:

[ \boxed{128}. ]

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, можно использовать формулу:

[ V = \frac{1}{3} S_b h, ]

где ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.

1. Площадь основания ( S_b ) квадрата со стороной ( a ) равна:

[ S_b = a^2 = (8\sqrt{3})^2 = 192. ]

1. Для нахождения высоты ( h ) необходимо использовать теорему Пифагора. В правильной четырехугольной пирамиде высота, боковое ребро и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Обозначим:

• Боковое ребро ( l = 10 ),
• Половина стороны основания ( \frac{a}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} ).

По теореме Пифагора:

[ l^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2. ]

Подставим значения:

[ 10^2 = h^2 + (4\sqrt{3})^2, ] [ 100 = h^2 + 48, ] [ h^2 = 100 - 48 = 52, ] [ h = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. ]

1. Теперь подставим ( S_b ) и ( h ) в формулу объема:

[ V = \frac{1}{3} \cdot 192 \cdot 2\sqrt{13} = \frac{384\sqrt{13}}{3} = 128\sqrt{13}. ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен ( 128\sqrt{13} ) кубических единиц.

Чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой:

[ V = \frac{1}{3} S_b h, ]

где ( V ) — объем пирамиды, ( S_b ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.

Шаг 1: Находим площадь основания.

Основание пирамиды является квадратом со стороной ( a = 8\sqrt{3} ). Площадь квадрата вычисляется по формуле:

[ S_b = a^2 = (8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192. ]

Шаг 2: Находим высоту пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся свойствами правильной четырехугольной пирамиды. Из центра квадрата проведем перпендикуляр к основанию, который будет высотой ( h ) пирамиды. Боковое ребро ( l ) равно 10. Половина стороны квадрата равна:

[ r = \frac{a}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}. ]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, в котором:

• одна катета — это высота ( h ),
• второй катет — это радиус вписанной окружности квадрата (половина стороны) ( r = 4\sqrt{3} ),
• гипотенуза — это боковое ребро ( l = 10 ).

По теореме Пифагора мы можем записать:

[ l^2 = h^2 + r^2. ]

Подставим известные значения:

[ 10^2 = h^2 + (4\sqrt{3})^2. ]

Это упростится до:

[ 100 = h^2 + 48, ]

откуда:

[ h^2 = 100 - 48 = 52, ]

и следовательно:

[ h = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}. ]

Шаг 3: Находим объем пирамиды.

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для объема:

[ V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 192 \cdot 2\sqrt{13}. ]

Упростим это:

[ V = \frac{384\sqrt{13}}{3} = 128\sqrt{13}. ]

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет ( 128\sqrt{13} ) кубических единиц.