Найдите площадь четырехугольника abcd, если известны координаты его вершин a(1;3), b(2;6), c(4;3), d(2;1).

Чтобы найти площадь произвольного четырехугольника, заданного координатами его вершин, можно воспользоваться формулой площади многоугольника, основанной на координатах его вершин. Эта формула известна как формула Гаусса или формула площади многоугольника через определитель.

Для четырехугольника с вершинами ( A(x_1, y_1) ), ( B(x_2, y_2) ), ( C(x_3, y_3) ), ( D(x_4, y_4) ) площадь ( S ) можно вычислить следующим образом:

[ S = \frac{1}{2} \left| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \right| ]

Подставим координаты вершин четырехугольника ( a(1, 3) ), ( b(2, 6) ), ( c(4, 3) ), ( d(2, 1) ):

[ S = \frac{1}{2} \left| 1\cdot6 + 2\cdot3 + 4\cdot1 + 2\cdot3 - (3\cdot2 + 6\cdot4 + 3\cdot2 + 1\cdot1) \right| ]

Теперь посчитаем каждую часть отдельно:

1. ( 1 \cdot 6 = 6 )
2. ( 2 \cdot 3 = 6 )
3. ( 4 \cdot 1 = 4 )
4. ( 2 \cdot 3 = 6 )

Сумма первой части: ( 6 + 6 + 4 + 6 = 22 )

Теперь вторая часть:

1. ( 3 \cdot 2 = 6 )
2. ( 6 \cdot 4 = 24 )
3. ( 3 \cdot 2 = 6 )
4. ( 1 \cdot 1 = 1 )

Сумма второй части: ( 6 + 24 + 6 + 1 = 37 )

Теперь подставим в формулу:

[ S = \frac{1}{2} \left| 22 - 37 \right| = \frac{1}{2} \left| -15 \right| = \frac{1}{2} \cdot 15 = 7.5 ]

Таким образом, площадь четырехугольника ( abcd ) равна ( 7.5 ) квадратных единиц.

Для нахождения площади четырехугольника abcd можно воспользоваться формулой площади произвольного четырехугольника по координатам его вершин. Эта формула основана на методе разбиения четырехугольника на два треугольника и нахождении их площадей.

1. Найдем площадь треугольника abc. Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона, зная длины его сторон. Для этого найдем длины сторон треугольника abc:
   • сторона ab: √((2-1)^2 + (6-3)^2) = √2^2 + 3^2 = √4 + 9 = √13,
   • сторона bc: √((4-2)^2 + (3-6)^2) = √2^2 + (-3)^2 = √4 + 9 = √13,
   • сторона ac: √((4-1)^2 + (3-3)^2) = √3^2 + 0^2 = √9 = 3.

Теперь найдем полупериметр треугольника abc: p = (ab + bc + ac) / 2 = (√13 + √13 + 3) / 2 = (2√13 + 3) / 2.

Теперь найдем площадь треугольника abc по формуле Герона: S_abc = √(p (p - ab) (p - bc) (p - ac)) = √(((2√13 + 3) / 2) (((2√13 + 3) / 2) - √13) (((2√13 + 3) / 2) - √13) (((2√13 + 3) / 2) - 3)).

1. Найдем площадь треугольника acd. Для этого найдем длины сторон треугольника acd:
   • сторона ac: 3,
   • сторона cd: √((2-4)^2 + (1-3)^2) = √(-2)^2 + (-2)^2 = √4 + 4 = √8,
   • сторона ad: √((2-1)^2 + (1-3)^2) = √1^2 + (-2)^2 = √1 + 4 = √5.

Полупериметр треугольника acd: p = (ac + cd + ad) / 2 = (3 + √8 + √5) / 2.

Площадь треугольника acd по формуле Герона: S_acd = √(p (p - ac) (p - cd) (p - ad)) = √(((3 + √8 + √5) / 2) (((3 + √8 + √5) / 2) - 3) (((3 + √8 + √5) / 2) - √8) (((3 + √8 + √5) / 2) - √5)).

Теперь найдем площадь четырехугольника abcd: S_abcd = S_abc + S_acd.