Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна...

Площадь фигуры равна 2 квадратным сантиметрам.

Для нахождения площади сегмента, ограниченного дугой окружности и стягивающей её хордой, необходимо сначала определить некоторые параметры круга и сегмента.

1. Определение радиуса окружности: Диаметр окружности равен 4 см, следовательно, радиус ( r ) равен половине диаметра: [ r = \frac{4}{2} = 2 \, \text{см} ]

2. Определение центрального угла, соответствующего дуге: Используем теорему косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: [ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) ] где ( a = b = r = 2 ) см (радиусы), ( c = 2 ) см (длина хорды), (\theta) — центральный угол в радианах: [ 2^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \times 2 \times 2 \cdot \cos(\theta) ] [ 4 = 8 - 8 \cdot \cos(\theta) ] [ 8 \cdot \cos(\theta) = 4 ] [ \cos(\theta) = \frac{1}{2} ] Угол (\theta), для которого (\cos(\theta) = \frac{1}{2}), равен (\frac{\pi}{3}) радиан (60 градусов).

3. Площадь сектора: Площадь сектора ( A{\text{sector}} ) с центральным углом (\theta) равна: [ A{\text{sector}} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{\theta}{2} \cdot r^2 ] Подставляем значения: [ A_{\text{sector}} = \frac{\pi/3}{2} \cdot 2^2 = \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{2\pi}{3} \, \text{см}^2 ]

4. Площадь треугольника: Площадь треугольника ( A{\text{triangle}} ), образованного двумя радиусами и хордой, можно найти по формуле: [ A{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta) ] где ( a = b = 2 ) см и (\theta = \frac{\pi}{3}): [ A{\text{triangle}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) ] [ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ A{\text{triangle}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

5. Площадь сегмента: Площадь сегмента ( A{\text{segment}} ) равна разности площадей сектора и треугольника: [ A{\text{segment}} = A{\text{sector}} - A{\text{triangle}} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей её хордой, составляет: [ A_{\text{segment}} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Для решения данной задачи нам необходимо найти площадь сегмента круга, образованного дугой окружности и стягивающей ее хордой.

Сначала найдем угол, образованный хордой и радиусом окружности. Так как диаметр окружности равен 4 см, то радиус равен половине диаметра, то есть 2 см. Для нахождения угла воспользуемся формулой для вычисления центрального угла: α = 2arcsin(длина хорды / (2 радиус)). Подставляя данные, получаем: α = 2arcsin(2 / (2 2)) = 2arcsin(1) = 2 * π/2 = π радиан.

Теперь найдем площадь сегмента круга. Площадь сегмента вычисляется по формуле: S = (r^2 / 2) (α - sin(α)), где r - радиус окружности, а α - угол в радианах. Подставляя значения, получаем: S = (2^2 / 2) (π - sin(π)) = 2 * (π - 0) = 2π см^2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, равна 2π квадратных сантиметра.