Найдите площадь кругового сектора, если длина ограничивающей его дуги равна 6π, а угол сектора равен...

Площадь кругового сектора равна ( \frac{1}{3} ) от площади всего круга, то есть ( \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 ), где ( r ) - радиус круга.

Учитывая, что длина ограничивающей дуги равна 6π, то ( 2\pi r = 6\pi ) и следовательно, ( r = 3 ).

Теперь можем найти площадь кругового сектора:

( \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 = 3\pi ).

Ответ: 3.

Для начала, обозначим переменные и формулы, которые будем использовать. Пусть ( r ) — радиус круга, ( \theta ) — центральный угол сектора в радианах, ( L ) — длина дуги, и ( A ) — площадь сектора.

Известно, что:

1. Длина дуги ( L ) связана с радиусом и углом сектора формулой: [ L = r \theta ]
2. Площадь сектора ( A ) связана с радиусом и углом сектора формулой: [ A = \frac{1}{2} r^2 \theta ]

Дано:

• ( L = 6\pi )
• ( \theta = 120^\circ )

Сначала нужно перевести угол из градусов в радианы, так как формулы работают именно с радианами. Для этого используем соотношение: [ 120^\circ = \frac{120 \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ радиан} ]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для длины дуги: [ L = r \theta ] [ 6\pi = r \left( \frac{2\pi}{3} \right) ]

Решаем уравнение для нахождения радиуса ( r ): [ 6\pi = r \cdвапи/3 ] [ r = \frac{6\pi}{2\pi/3} ] [ r = \frac{6\pi \cdot 3}{2\pi} ] [ r = 9 ]

Теперь можем найти площадь сектора, используя формулу: [ A = \frac{1}{2} r^2 \theta ] Подставляем известные значения ( r ) и ( \theta ): [ A = \frac{1}{2} \cd 9^2 \cd \frac{2\pi}{3} ] [ A = \frac{1}{2} \cd 81 \cd \frac{2\pi}{3} ] [ A = \frac{81 \cd 2\pi}{6} ] [ A = \frac{162\pi}{6} ] [ A = 27\pi ]

Таким образом, площадь сектора равна ( 27\pi ). Нам нужно указать площадь, делённую на ( \pi ): [ \frac{A}{\pi} = \frac{27\pi}{\pi} = 27 ]

Ответ: площадь сектора, деленная на ( \pi ), равна 27.

Для нахождения площади кругового сектора необходимо использовать формулу: S = (r^2 * α) / 2, где S - площадь сектора, r - радиус круга, α - центральный угол сектора в радианах.

У нас дан угол сектора 120°, что равно 2π/3 радиан. Также длина ограничивающей дуги равна 6π, что означает, что длина дуги равна 2πr = 6π, откуда r = 3.

Подставляем значения в формулу: S = (3^2 * 2π/3) / 2 = 9π / 3 = 3π.

Ответ: S/π = 3.