Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами...

Для нахождения площади полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большого катета, нужно вычислить площадь боковой поверхности и двух оснований.

1. Площадь боковой поверхности: Боковая поверхность будет являться боковой поверхностью конуса. По формуле для площади боковой поверхности конуса S = π r l, где r - радиус конуса, l - образующая конуса. Радиус конуса r = 4 см (больший катет), а образующая l = 5 см (гипотенуза треугольника). Тогда Sбок = π 4 см 5 см = 20π см².

2. Площадь основания: Основание конуса будет являться прямоугольным треугольником с катетами 3 см и 4 см. Площадь такого треугольника равна Sосн = (a b) / 2, где a и b - катеты треугольника. Sосн = (3 см 4 см) / 2 = 6 см². Учитывая, что у нас два основания, площадь обоих оснований равна 2 * 6 см² = 12 см².

Итак, общая площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг большого катета, равна: S = Sбок + 2 * Sосн = 20π см² + 12 см² ≈ 88,68 см².

Для нахождения площади полной поверхности тела, полученного в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, нужно учесть, что при вращении треугольника образуется конус. В данном случае, так как треугольник вращается вокруг большего катета (4 см), то этот катет станет высотой конуса ( h = 4 ) см, а меньший катет (3 см) — радиусом основания конуса ( r = 3 ) см.

1. Расчёт площади боковой поверхности конуса: Площадь боковой поверхности конуса можно рассчитать по формуле: [ S{\text{бок}} = \pi r l, ] где ( l ) — образующая конуса. Образующую можно найти из теоремы Пифагора, так как образующая, радиус основания и высота образуют прямоугольный треугольник: [ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}. ] Теперь подставляем значения в формулу площади боковой поверхности: [ S{\text{бок}} = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \text{ см}^2. ]

2. Расчёт площади основания конуса: Площадь круглого основания конуса вычисляется по формуле: [ S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi \text{ см}^2. ]

3. Расчёт полной площади поверхности конуса: Полная площадь поверхности конуса равна сумме площадей боковой поверхности и основания: [ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \text{ см}^2. ]

Таким образом, площадь полной поверхности тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см вокруг большего катета, равна ( 24\pi ) квадратных сантиметров.