Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 16 см, а один из углов треугольника...

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов. В этом треугольнике один из углов равен 45 градусов, что делает его прямоугольным равнобедренным треугольником. Это значит, что оба катета равны по длине.

Давайте обозначим длину каждого катета как ( x ). По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника со сторонами ( x ), ( x ) и гипотенузой 16 см, выполняется следующее равенство:

[ x^2 + x^2 = 16^2. ]

Это можно упростить до:

[ 2x^2 = 256. ]

Теперь разделим обе стороны уравнения на 2:

[ x^2 = 128. ]

Возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения, чтобы найти ( x ):

[ x = \sqrt{128}. ]

Можно упростить подкоренное выражение:

[ x = \sqrt{64 \times 2} = \sqrt{64} \times \sqrt{2} = 8\sqrt{2}. ]

Теперь, когда мы знаем длины катетов, можем найти площадь треугольника. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

[ S = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2. ]

Подставим значения катетов:

[ S = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \times 8\sqrt{2}. ]

Упростим выражение:

[ S = \frac{1}{2} \times 64 \times 2. ]

[ S = \frac{1}{2} \times 128. ]

[ S = 64. ]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника равна 64 квадратных сантиметра.

Для решения данной задачи нам необходимо найти катеты прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и угол.

Так как один из углов треугольника равен 45 градусов, то мы имеем дело с прямоугольным треугольником, в котором один из углов равен 90 градусов, а другой равен 45 градусов.

Таким образом, мы можем использовать свойства треугольника, связанные с тригонометрией, чтобы найти катеты. Так как у нас известна гипотенуза и угол, мы можем использовать тригонометрические функции синуса и косинуса.

Пусть один катет равен x, а другой катет равен y. Тогда у нас будет следующее:

sin(45°) = x / 16 cos(45°) = y / 16

Из этих уравнений мы можем найти значения катетов x и y:

x = 16 sin(45°) y = 16 cos(45°)

После того как мы найдем значения катетов, мы можем найти площадь прямоугольного треугольника по формуле:

S = (x * y) / 2

Подставив значения катетов, мы получим итоговую площадь прямоугольного треугольника.