Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 7 и 15, большая боковая сторона составляет...

Для нахождения площади прямоугольной трапеции, где основания равны 7 и 15, а большая боковая сторона образует угол 45 градусов с одним из оснований, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Определение параметров трапеции:

   • Обозначим основания трапеции как ( a = 7 ) (меньшее основание) и ( b = 15 ) (большее основание).
   • Обозначим длинную боковую сторону как ( c ). Поскольку она образует угол 45 градусов с основанием, мы можем определить высоту ( h ) трапеции.

2. Нахождение высоты: Угол 45 градусов означает, что высота ( h ) равна длине проекции боковой стороны на вертикальную ось. Если ( c ) — длина боковой стороны, то: [ h = c \cdot \sin(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ] Однако, для нахождения высоты нам необходимо знать длину боковой стороны ( c ).

3. Нахождение боковой стороны ( c ): В прямоугольной трапеции с углом 45 градусов и основаниями ( a ) и ( b ) мы можем использовать свойства трапеции и теорему Пифагора. Длина боковой стороны ( c ) может быть найдена следующим образом: [ c = \sqrt{h^2 + (b - a)^2} ] Здесь ( b - a = 15 - 7 = 8 ).

4. Вычисление высоты: Теперь, если мы выразим высоту через боковую сторону, то: [ c = h \cdot \sqrt{2} ] Подставим это в уравнение для ( c ): [ h \cdot \sqrt{2} = \sqrt{h^2 + 8^2} ]

   Квадрат обеих сторон даст: [ 2h^2 = h^2 + 64 ] [ h^2 = 64 ] [ h = 8 ]

5. Подсчет площади трапеции: Площадь ( S ) прямоугольной трапеции рассчитывается по формуле: [ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h ] Подставим значения: [ S = \frac{(7 + 15)}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88 ]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции составляет 88 квадратных единиц.

Для решения задачи о площади прямоугольной трапеции, начнем с анализа данных:

Дано:

1. Прямоугольная трапеция (одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям).
2. Основания трапеции равны ( a = 7 ) и ( b = 15 ).
3. Угол между большей боковой стороной (( h )) и одним из оснований равен ( 45^\circ ).

Формула площади трапеции:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h, ] где ( a ) и ( b ) — длины оснований, а ( h ) — высота.

Решение:

Шаг 1: Выразим высоту

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон является высотой. Пусть высота ( h ) — это длина меньшей боковой стороны (перпендикулярной основаниям).

Для определения второй боковой стороны, которая образует угол ( 45^\circ ) с основанием, используем геометрические свойства. Угол ( 45^\circ ) означает, что наклонная боковая сторона образует прямоугольный треугольник с высотой ( h ) и разностью оснований (( b - a = 15 - 7 = 8 )).

По определению тангенса: [ \tan(45^\circ) = 1 = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{8}. ]

Отсюда: [ h = 8. ]

Шаг 2: Подставим значения в формулу площади

Теперь, имея высоту ( h = 8 ), найдем площадь трапеции: [ S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (7 + 15) \cdot 8. ]

Считаем: [ S = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 8 = 88. ]

Ответ:

Площадь прямоугольной трапеции равна ( 88 ) квадратных единиц.