Найдите площадь правильного шестиугольника, если радиус описанной окружности равен 4см

Чтобы найти площадь правильного шестиугольника, если радиус описанной окружности равен ( R = 4 \, \text{см} ), воспользуемся следующими свойствами правильных шестиугольников.

Свойства правильного шестиугольника:

1. Каждый правильный шестиугольник можно разбить на 6 равносторонних треугольников, вершинами которых являются центр окружности и две соседние вершины шестиугольника.
2. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен длине стороны шестиугольника. То есть ( a = R ), где ( a ) — длина стороны шестиугольника.

Шаги решения:

1. Найдем длину стороны шестиугольника:

Поскольку радиус описанной окружности совпадает с длиной стороны правильного шестиугольника, то: [ a = R = 4 \, \text{см}. ]

2. Формула площади правильного шестиугольника:

Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2, ] где ( a ) — длина стороны шестиугольника.

3. Подставим значение ( a = 4 ):

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (4)^2. ]

4. Выполним вычисления:

Сначала возведем ( 4 ) в квадрат: [ 4^2 = 16. ]

Подставим это в формулу: [ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16. ]

Упростим: [ S = 24\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]

5. Приблизительное значение:

Если нужно найти численное значение, можно использовать приближенное значение ( \sqrt{3} \approx 1{,}732 ): [ S \approx 24 \cdot 1{,}732 = 41{,}57 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь правильного шестиугольника равна: [ S = 24\sqrt{3} \, \text{см}^2 \quad \text{(точное значение)}, ] или [ S \approx 41{,}57 \, \text{см}^2 \quad \text{(приближенное значение)}.

Для нахождения площади правильного шестиугольника, когда известен радиус описанной окружности ( R ), можно использовать следующую формулу:

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} R^2 ]

Где ( S ) — площадь шестиугольника, а ( R ) — радиус описанной окружности.

В данном случае радиус описанной окружности равен ( R = 4 ) см. Подставим это значение в формулу:

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (4)^2 ]

Теперь вычислим ( (4)^2 ):

[ (4)^2 = 16 ]

Теперь подставим это значение в формулу:

[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 ]

Упростим:

[ S = 24\sqrt{3} ]

Теперь, если необходимо, можно вычислить приближенное значение. Поскольку ( \sqrt{3} \approx 1.732 ):

[ S \approx 24 \cdot 1.732 \approx 41.568 ]

Таким образом, площадь правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности 4 см составляет:

[ S = 24\sqrt{3} \, \text{см}^2 \quad \text{или приближенно} \quad S \approx 41.57 \, \text{см}^2 ]