Найдите площадь треугольника АВС, если А (3;0;0), В(0;-4;0), С(0;0;1).

Чтобы найти площадь треугольника ( ABC ) с заданными координатами вершин ( A(3, 0, 0) ), ( B(0, -4, 0) ), и ( C(0, 0, 1) ), можно воспользоваться формулой площади треугольника, заданного в пространстве координатами его вершин. Одна из таких формул базируется на векторном произведении.

Векторное произведение векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ) даёт вектор, модуль которого равен удвоенной площади треугольника ( ABC ).

1. Найдём координаты векторов: [ \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, -4 - 0, 0 - 0) = (-3, -4, 0), ] [ \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 3, 0 - 0, 1 - 0) = (-3, 0, 1). ]

2. Вычислим векторное произведение ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ): [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -3 & -4 & 0 \ -3 & 0 & 1 \end{vmatrix}. ] Раскроем определитель: [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - (-4) \cdot 1) - \mathbf{j}(-3 \cdot 1 - 0 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(-3 \cdot 0 - (-3) \cdot (-4)). ] Упростим: [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(4) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(-12), ] [ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (4, 3, -12). ]

3. Найдём модуль векторного произведения: [ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13. ]

4. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: [ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5. ]

Таким образом, площадь треугольника ( ABC ) равна ( 6.5 ) квадратных единиц.

Площадь треугольника ABC равна 6 единицам.

Для нахождения площади треугольника ABC, применим формулу Герона. Сначала найдем длины сторон треугольника AB, BC и AC, используя координаты точек.

1. Длина стороны AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2) AB = √((0 - 3)^2 + (-4 - 0)^2 + (0 - 0)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

2. Длина стороны BC: BC = √((x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2) BC = √((0 - 0)^2 + (0 - (-4))^2 + (1 - 0)^2) = √(0 + 16 + 1) = √17

3. Длина стороны AC: AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2) AC = √((0 - 3)^2 + (0 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = √(9 + 1) = √10

Теперь найдем полупериметр треугольника: p = (AB + BC + AC) / 2 p = (5 + √17 + √10) / 2

Наконец, найдем площадь треугольника по формуле Герона: S = √(p (p - AB) (p - BC) * (p - AC))