Найдите промежутки возрастания и убывания функции x^3+3x^2-9x+1

Промежутки возрастания: (-бесконечность; -3) и (1; +бесконечность) Промежутки убывания: (-3; 1)

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 ), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти первую производную функции: Первая производная функции ( f(x) ) — это функция, которая показывает скорость изменения ( f(x) ). Находим её: [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x + 1) ] Используя правила дифференцирования, получаем: [ f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 ]

2. Найти критические точки: Критические точки находятся из условия ( f'(x) = 0 ). Решим уравнение: [ 3x^2 + 6x - 9 = 0 ] Упростим, разделив на 3: [ x^2 + 2x - 3 = 0 ] Это квадратное уравнение можно решить методом разложения на множители: [ (x + 3)(x - 1) = 0 ] Отсюда находим корни: [ x = -3 \quad \text{и} \quad x = 1 ]

3. Определить знаки первой производной в промежутках: Теперь нужно определить знаки производной ( f'(x) ) на промежутках, разделённых критическими точками ( x = -3 ) и ( x = 1 ). Для этого выберем тестовые точки из каждого промежутка:

   • Для промежутка ( (-\infty, -3) ): Возьмём ( x = -4 ): [ f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 \quad (\text{положительный знак}) ]

   • Для промежутка ( (-3, 1) ): Возьмём ( x = 0 ): [ f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 \quad (\text{отрицательный знак}) ]

   • Для промежутка ( (1, \infty) ): Возьмём ( x = 2 ): [ f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 \quad (\text{положительный знак}) ]

4. Определить промежутки возрастания и убывания:

   • На промежутке ( (-\infty, -3) ) производная ( f'(x) > 0 ), значит, функция возрастает.
   • На промежутке ( (-3, 1) ) производная ( f'(x) < 0 ), значит, функция убывает.
   • На промежутке ( (1, \infty) ) производная ( f'(x) > 0 ), значит, функция опять возрастает.

Таким образом, функция ( f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 ) возрастает на промежутках ( (-\infty, -3) ) и ( (1, \infty) ), и убывает на промежутке ( (-3, 1) ).

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1, нужно проанализировать ее производную. Сначала найдем производную функции f'(x) = 3x^2 + 6x - 9.

Далее найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение: 3x^2 + 6x - 9 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим корни x1 = -3 и x2 = 1.

Теперь анализируем знаки производной в окрестности найденных точек:

• Для x < -3: f'(x) < 0, следовательно функция убывает.
• Для -3 < x < 1: f'(x) > 0, следовательно функция возрастает.
• Для x > 1: f'(x) > 0, следовательно функция возрастает.

Итак, промежутки возрастания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1: (-бесконечность; -3) и (1; +бесконечность), промежутки убывания: (-3; 1).