Найдите разложение бинома Ньютона (х+3)^3

Разложение бинома Ньютона для ((x + 3)^3) можно найти по формуле:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) a^{n-k} b^k ]

где (C(n, k)) — биномиальный коэффициент. В данном случае (a = x), (b = 3) и (n = 3).

Разложение будет следующим:

[ (x + 3)^3 = C(3, 0)x^3 \cdot 3^0 + C(3, 1)x^2 \cdot 3^1 + C(3, 2)x^1 \cdot 3^2 + C(3, 3)x^0 \cdot 3^3 ]

Подставим значения биномиальных коэффициентов:

[ = 1 \cdot x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 9 + 1 \cdot 27 ]

Упрощаем:

[ = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 ]

Итак, разложение ((x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27).

Чтобы разложить биномиальное выражение ((x + 3)^3) с помощью формулы бинома Ньютона, воспользуемся общей формой разложения:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n, k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k ]

где (C(n, k)) — это биномиальный коэффициент, который можно вычислить по формуле:

[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ]

В нашем случае (a = x), (b = 3) и (n = 3). Теперь подставим эти значения в формулу:

[ (x + 3)^3 = \sum_{k=0}^{3} C(3, k) \cdot x^{3-k} \cdot 3^k ]

Теперь найдем биномиальные коэффициенты и соответствующие члены для каждого значения (k) от 0 до 3.

1. Для (k = 0): [ C(3, 0) = \frac{3!}{0! \cdot 3!} = 1 ] [ x^{3-0} \cdot 3^0 = x^3 ] Получаем: (1 \cdot x^3 = x^3)

2. Для (k = 1): [ C(3, 1) = \frac{3!}{1! \cdot 2!} = 3 ] [ x^{3-1} \cdot 3^1 = x^2 \cdot 3 = 3x^2 ] Получаем: (3 \cdot 3x^2 = 9x^2)

3. Для (k = 2): [ C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3 ] [ x^{3-2} \cdot 3^2 = x^1 \cdot 9 = 9x ] Получаем: (3 \cdot 9x = 27x)

4. Для (k = 3): [ C(3, 3) = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = 1 ] [ x^{3-3} \cdot 3^3 = 1 \cdot 27 = 27 ] Получаем: (1 \cdot 27 = 27)

Теперь соберем все полученные члены:

[ (x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 ]

Таким образом, разложение бинома Ньютона для выражения ((x + 3)^3) будет:

[ \boxed{x^3 + 9x^2 + 27x + 27} ]

Разберем разложение бинома по формуле бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона для выражения ((a + b)^n) выглядит следующим образом:

[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k, ]

где (C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}) — это биномиальный коэффициент, (a) и (b) — слагаемые, (n) — степень, а (k) пробегает значения от (0) до (n).

В нашем случае (a = x), (b = 3), (n = 3). Теперь распишем разложение ((x + 3)^3) по этой формуле.

Шаг 1. Распишем сумму

[ (x + 3)^3 = \sum_{k=0}^3 C_3^k \cdot x^{3-k} \cdot 3^k ]

Шаг 2. Вычислим биномиальные коэффициенты (C_3^k)

Биномиальные коэффициенты (C_3^k) вычисляются как: [ C_3^0 = \frac{3!}{0!(3-0)!} = 1, \quad C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = 3, \quad C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3, \quad C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1. ]

Таким образом, коэффициенты: (1, 3, 3, 1).

Шаг 3. Подставим значения (a = x) и (b = 3)

Распишем каждый член суммы: [ (x + 3)^3 = C_3^0 \cdot x^{3-0} \cdot 3^0 + C_3^1 \cdot x^{3-1} \cdot 3^1 + C_3^2 \cdot x^{3-2} \cdot 3^2 + C_3^3 \cdot x^{3-3} \cdot 3^3. ]

Подставим значения коэффициентов и упростим выражения:

1. Первый член: (C_3^0 \cdot x^3 \cdot 3^0 = 1 \cdot x^3 \cdot 1 = x^3),
2. Второй член: (C_3^1 \cdot x^2 \cdot 3^1 = 3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2),
3. Третий член: (C_3^2 \cdot x^1 \cdot 3^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x),
4. Четвертый член: (C_3^3 \cdot x^0 \cdot 3^3 = 1 \cdot 1 \cdot 27 = 27).

Шаг 4. Запишем итоговое разложение

[ (x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27. ]

Ответ:

Разложение бинома Ньютона для ((x + 3)^3) равно: [ x^3 + 9x^2 + 27x + 27. ]