Найдите угол между лучом ОD и положительной полуосью DХ ,если точка D(-2;2)

Для того чтобы найти угол между лучом OD и положительной полуосью DX, нам необходимо найти угол между векторами OD и DX.

Вектор OD можно найти, вычитая координаты точки D из координат точки O (начала координат): OD = (0 - (-2), 0 - 2) = (2, -2)

Вектор DX равен координатам точки X (конца положительной полуоси): DX = (4, 0)

Угол между двумя векторами вычисляется по формуле: cos(θ) = (OD • DX) / (|OD| * |DX|), где OD • DX - скалярное произведение векторов, |OD| и |DX| - модули векторов.

OD • DX = 2 4 + (-2) 0 = 8, |OD| = √(2^2 + (-2)^2) = √(4 + 4) = √8, |DX| = √(4^2 + 0^2) = √16 = 4.

Теперь можем подставить значения в формулу: cos(θ) = 8 / (√8 * 4) = 8 / (4√2) = 2 / √2 = √2.

Итак, косинус угла между векторами OD и DX равен √2. Теперь найдем сам угол: θ = arccos(√2) ≈ 45°.

Таким образом, угол между лучом OD и положительной полуосью DX равен приблизительно 45 градусов.

Для того чтобы найти угол между лучом OD и положительной полуосью OX, сначала найдем координаты вектора OD. Поскольку начало координат O имеет координаты (0, 0), а точка D имеет координаты (-2, 2), вектор OD можно представить как вектор (\overrightarrow{OD} = (-2, 2)).

Далее, нам нужно определить угол между этим вектором и положительной полуосью OX, которую можно представить как вектор (\overrightarrow{OX} = (1, 0)), направленный вдоль оси X.

Угол между двумя векторами можно найти с помощью формулы для косинуса угла между векторами: [ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|} ] где (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) — скалярное произведение векторов, а (|\overrightarrow{u}|) и (|\overrightarrow{v}|) — их длины.

Скалярное произведение (\overrightarrow{OD}) и (\overrightarrow{OX}) равно: [ \overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OX} = (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -2 ]

Длина вектора (\overrightarrow{OD}) равна: [ |\overrightarrow{OD}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

Длина вектора (\overrightarrow{OX}) равна: [ |\overrightarrow{OX}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 ]

Подставляем в формулу для косинуса: [ \cos(\theta) = \frac{-2}{2\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{-1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} ] Это значение косинуса соответствует углу (\theta = 135^\circ) или (\frac{3\pi}{4}) радиан, так как вектор (\overrightarrow{OD}) направлен во вторую координатную четверть.

Таким образом, угол между лучом OD и положительной полуосью OX составляет 135 градусов.