Найдите значение tg a, если известно, что cos a =-1/4. Пожалуйста решение.

Для решения данной задачи воспользуемся определением тангенса как отношения синуса косинуса угла: tg a = sin a / cos a

Так как известно, что cos a = -1/4, найдем синус угла a с помощью тригонометрической формулы: sin^2 a = 1 - cos^2 a sin^2 a = 1 - (-1/4)^2 sin^2 a = 1 - 1/16 sin^2 a = 15/16 sin a = sqrt(15) / 4

Теперь подставим значения синуса и косинуса в формулу для тангенса: tg a = (sqrt(15) / 4) / (-1/4) tg a = -sqrt(15)

Чтобы найти значение (\tan a), зная, что (\cos a = -\frac{1}{4}), мы можем использовать основное тригонометрическое тождество:

[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 ]

Подставим известное значение (\cos a) в это тождество:

[ \sin^2 a + \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 ]

[ \sin^2 a + \frac{1}{16} = 1 ]

Вычтем (\frac{1}{16}) из обеих частей уравнения:

[ \sin^2 a = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} ]

Теперь найдем (\sin a). Поскольку квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным, у нас будет два возможных значения для (\sin a):

[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} ]

Теперь можем найти (\tan a) с помощью определения:

[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} ]

Подставим значения:

1. Если (\sin a = \frac{\sqrt{15}}{4}), то:

[ \tan a = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}} = -\sqrt{15} ]

1. Если (\sin a = -\frac{\sqrt{15}}{4}), то:

[ \tan a = \frac{-\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}} = \sqrt{15} ]

Таким образом, в зависимости от квадранта, в котором находится угол (a), возможны два значения для (\tan a): (-\sqrt{15}) или (\sqrt{15}). Учитывая, что (\cos a) отрицателен, угол (a) находится либо во втором, либо в третьем квадранте. Во втором квадранте (\sin a) положителен, а в третьем — отрицателен.

Соответственно, если (a) находится во втором квадранте, то (\tan a = -\sqrt{15}), а если в третьем, то (\tan a = \sqrt{15}).

Для нахождения значения tg a, нам необходимо воспользоваться тригонометрическими соотношениями. Известно, что cos a = -1/4. Используя тригонометрическое соотношение tg^2 a + 1 = sec^2 a, мы можем найти sec a: cos^2 a + sin^2 a = 1 (-1/4)^2 + sin^2 a = 1 1/16 + sin^2 a = 1 sin^2 a = 1 - 1/16 sin^2 a = 15/16 sin a = sqrt(15)/4

Теперь мы можем найти sec a: sec a = 1/cos a sec a = 1/(-1/4) sec a = -4

Используя определение tg a = sin a/cos a, мы можем найти значение tg a: tg a = sin a/cos a tg a = (sqrt(15)/4) / (-1/4) tg a = -sqrt(15)

Итак, значение tg a равно -sqrt(15).