Найти острый угол между диагоналями прямоугольника если одна из них делят угол при вершине прямоугольника...

Для нахождения острого угла между диагоналями прямоугольника, необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Пусть одна диагональ делит угол при вершине прямоугольника в отношении 2:7. Пусть угол при вершине равен α. Тогда угол между диагоналями равен acos(2/9).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольников и тригонометрические соотношения.

Пусть ( ABCD ) — прямоугольник, где ( AB ) и ( CD ) — противоположные стороны, а ( AC ) и ( BD ) — диагонали. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке ( O ) и делят его на четыре прямоугольных треугольника.

Согласно условию, одна из диагоналей делит угол при вершине прямоугольника в отношении 2:7. Пусть это диагональ ( AC ), и она делит угол ( \angle DAB ) в отношении 2:7. Это означает, что угол ( \angle DAB = \alpha ) можно представить как сумму углов ( 2x ) и ( 7x ), где ( x ) — некоторая величина угла. Таким образом, ( \alpha = 9x ).

Так как ( \angle DAB ) — это угол прямоугольника, его величина равна ( 90^\circ ). Поэтому: [ 9x = 90^\circ ] [ x = 10^\circ ]

Вершина ( D ) будет разделена диагональю ( AC ) на углы ( 2x = 20^\circ ) и ( 7x = 70^\circ ).

Теперь найдем острый угол между диагоналями ( AC ) и ( BD ). Поскольку диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ), они образуют четыре угла при пересечении. Нам нужно найти один из этих углов.

Заметим, что ( \angle AOD ) является вертикальным углом к углу, который образуют ( AC ) и ( BD ), и он равен ( 70^\circ ). Соответственно, угол ( \angle BOC ) также равен ( 70^\circ ).

Теперь рассмотрим острый угол между диагоналями ( AC ) и ( BD ). Поскольку ( \angle AOD + \angle AOB = 180^\circ ), и ( \angle AOD = 70^\circ ), то: [ \angle AOB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ ]

Однако, так как нас интересует острый угол, то он будет: [ 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ ]

Таким образом, острый угол между диагоналями ( AC ) и ( BD ) равен ( 70^\circ ).

Для нахождения острого угла между диагоналями прямоугольника, делим одну из диагоналей на отрезки в соотношении 2:7. Пусть общая длина диагонали равна D. Тогда первый отрезок будет равен 2D/9, а второй - 7D/9.

Теперь рассмотрим треугольник, образованный диагональю прямоугольника и этими отрезками. Угол между диагональю и первым отрезком можно найти, используя тригонометрическую функцию. Так как это прямоугольный треугольник, то тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Таким образом, tg(α) = (2D/9) / (7D/9) = 2/7.

Следовательно, α = arctg(2/7). Это и есть острый угол между диагоналями прямоугольника.