Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства прямоугольников и тригонометрические соотношения.
Пусть — прямоугольник, где и — противоположные стороны, а и — диагонали. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке и делят его на четыре прямоугольных треугольника.
Согласно условию, одна из диагоналей делит угол при вершине прямоугольника в отношении 2:7. Пусть это диагональ , и она делит угол в отношении 2:7. Это означает, что угол можно представить как сумму углов и , где — некоторая величина угла. Таким образом, .
Так как — это угол прямоугольника, его величина равна . Поэтому:
Вершина будет разделена диагональю на углы и .
Теперь найдем острый угол между диагоналями и . Поскольку диагонали и пересекаются в точке , они образуют четыре угла при пересечении. Нам нужно найти один из этих углов.
Заметим, что является вертикальным углом к углу, который образуют и , и он равен . Соответственно, угол также равен .
Теперь рассмотрим острый угол между диагоналями и . Поскольку , и , то:
Однако, так как нас интересует острый угол, то он будет:
Таким образом, острый угол между диагоналями и равен .