Найти площадь прямоугольного треугольника ABC, у которого AB-гипотенуза, катет CB=4см, а угол A=30°

Для решения задачи о нахождении площади прямоугольного треугольника ABC, где AB является гипотенузой, катет CB равен 4 см, а угол A равен 30°, следуем следующим шагам:

1. Определение второго катета:

   • В треугольнике ABC угол A (30°) находится напротив катета CB.
   • Используя тригонометрические функции, можно найти второй катет AC.
   • Вспомним, что в прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу 30°, равен половине гипотенузы. Однако, для точности используем тангенс: [ \tan(30°) = \frac{противолежащий \, катет \, (CB)}{прилежащий \, катет \, (AC)} ] [ \tan(30°) = \frac{4 \, \text{см}}{AC} ]

   Поскольку (\tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}), уравнение примет вид: [ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{AC} ]

   Отсюда: [ AC = 4 \sqrt{3} \, \text{см} ]

2. Нахождение гипотенузы AB:

   • Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы AB: [ AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} ] Подставляем известные значения: [ AB = \sqrt{(4 \sqrt{3})^2 + 4^2} ] [ AB = \sqrt{48 + 16} ] [ AB = \sqrt{64} = 8 \, \text{см} ]

3. Вычисление площади:

   • Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота ] В нашем случае основаниями (катетами) являются AC и CB: [ S = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \, \text{см} \times 4 \, \text{см} ] [ S = \frac{1}{2} \times 16 \sqrt{3} \, \text{см}^2 ] [ S = 8 \sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника ABC составляет (8 \sqrt{3} \, \text{см}^2).

Для нахождения площади прямоугольного треугольника ABC с заданными параметрами (гипотенуза AB, катет CB и угол A) можно воспользоваться формулой:

Площадь = 0.5 AB CB * sin(A)

У нас дан угол A = 30°, катет CB = 4 см. Для нахождения гипотенузы AB можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Так как у нас задан угол 30°, то мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для угловых величин 30°, 60° и 90°.

В прямоугольном треугольнике с углом 30° гипотенуза (AB) равна удвоенному катету (CB) умноженному на √3, соответственно AB = 4 2 √3 = 8√3 см.

Подставляем значения в формулу:

Площадь = 0.5 8√3 4 sin(30°) = 0.5 8√3 4 0.5 = 8√3 см^2

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника ABC равна 8√3 квадратных сантиметров.