Найти сумму диагоналей четырёхугольника, если периметр четырёхугольника с вершинами в серединах сторон...

Для решения этой задачи воспользуемся свойством четырёхугольника, у которого вершины соединяют середины сторон данного четырёхугольника.

Шаг 1. Свойство четырёхугольника, построенного из середины сторон

Если вершины нового четырёхугольника ( A_1B_1C_1D_1 ) являются серединами сторон исходного четырёхугольника ( ABCD ), то этот новый четырёхугольник является параллелограммом. Это следует из теоремы о средней линии треугольника: отрезки, соединяющие середины сторон, параллельны и равны половине диагоналей исходного четырёхугольника.

Шаг 2. Связь диагоналей исходного четырёхугольника и сторон параллелограмма

Стороны нового четырёхугольника равны половинам диагоналей исходного четырёхугольника. Пусть диагонали исходного четырёхугольника ( ABCD ) равны ( d_1 ) и ( d_2 ). Тогда стороны параллелограмма ( A_1B_1C_1D_1 ) равны: [ a = \frac{d_1}{2}, \quad b = \frac{d_2}{2}. ]

Шаг 3. Периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма ( A_1B_1C_1D_1 ) равен сумме всех его сторон, то есть: [ P = 2a + 2b = 2\left(\frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2}\right) = d_1 + d_2. ]

По условию задачи, периметр параллелограмма равен 24 см: [ d_1 + d_2 = 24. ]

Шаг 4. Ответ

Сумма диагоналей исходного четырёхугольника равна ( d_1 + d_2 = 24 ) см.

Итог:

[ \boxed{Сумма диагоналей данного четырёхугольника равна 24 \, \text{см}.} ]

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойством четырехугольника, образованного вершинами середины сторон другого четырехугольника.

Пусть ABCD — произвольный четырехугольник. Обозначим M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Четырехугольник MNPQ называется четырехугольником, вписанным в ABCD.

Существует важное свойство: периметр четырехугольника MNPQ равен половине периметра четырехугольника ABCD. Это можно записать в виде:

[ P{MNPQ} = \frac{1}{2} P{ABCD} ]

В данной задаче периметр четырехугольника MNPQ равен 24 см. Следовательно, периметр четырехугольника ABCD будет равен:

[ P{ABCD} = 2 \times P{MNPQ} = 2 \times 24 \text{ см} = 48 \text{ см} ]

Теперь, чтобы найти сумму диагоналей четырехугольника ABCD, воспользуемся следующим утверждением: сумма длин диагоналей четырехугольника равна сумме длин его сторон. Это следует из того, что диагонали делят четырехугольник на два треугольника, и сумма длин диагоналей равна сумме длин сторон этих треугольников.

Обозначим стороны четырехугольника ABCD как ( a, b, c, d ). Тогда:

[ S = AC + BD = a + b + c + d ]

Однако, по свойству, сумма длин сторон четырехугольника равна периметру, то есть:

[ a + b + c + d = P_{ABCD} ]

Таким образом, сумма диагоналей четырехугольника ABCD равна периметру ABCD. Поскольку мы ранее нашли, что периметр ABCD равен 48 см, то сумма диагоналей ( AC + BD ) также равна:

[ AC + BD = 48 \text{ см} ]

Таким образом, ответ на поставленный вопрос: сумма диагоналей четырехугольника ABCD равна 48 см.