Найти угол между прямыми MN и KE. если M (2;0;0); N (0;2;0); K (2;2;0); E (2;2;2)

Угол между прямыми MN и KE равен 45 градусов.

Для того чтобы найти угол между прямыми MN и KE, необходимо сначала определить направляющие векторы этих прямых.

1. Определение направляющих векторов:

   • Для прямой MN: направляющий вектор (\overrightarrow{MN}) можно найти как разность координат точки N и точки M: [ \overrightarrow{MN} = N - M = (0 - 2, 2 - 0, 0 - 0) = (-2, 2, 0) ]

   • Для прямой KE: направляющий вектор (\overrightarrow{KE}) можно найти как разность координат точки E и точки K: [ \overrightarrow{KE} = E - K = (2 - 2, 2 - 2, 2 - 0) = (0, 0, 2) ]

2. Формула для нахождения угла между прямыми:

   Угол (\theta) между двумя векторами (\overrightarrow{a}) и (\overrightarrow{b}) определяется как: [ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} ] где (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) — скалярное произведение векторов, а (|\overrightarrow{a}|) и (|\overrightarrow{b}|) — их длины.

3. Вычисление скалярного произведения:

   [ \overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{KE} = (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot 2 = 0 ]

4. Вычисление модулей векторов:

   [ |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} ]

   [ |\overrightarrow{KE}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{4} = 2 ]

5. Вычисление косинуса угла:

   [ \cos\theta = \frac{0}{2\sqrt{2} \cdot 2} = 0 ]

   Поскольку (\cos\theta = 0), это означает, что угол (\theta = 90^\circ).

Таким образом, угол между прямыми MN и KE равен (90^\circ).

Для нахождения угла между прямыми MN и KE необходимо найти векторное произведение направляющих векторов каждой из прямых и затем найти угол между этими векторами.

Вектор направления прямой MN можно найти как разность координат точек M и N: MN = N - M = (0 - 2; 2 - 0; 0 - 0) = (-2; 2; 0).

Аналогично, вектор направления прямой KE можно найти как разность координат точек K и E: KE = E - K = (2 - 2; 2 - 2; 2 - 0) = (0; 0; 2).

Теперь найдем угол между этими векторами. Для этого воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами: cos(θ) = (MN KE) / (|MN| |KE|),

где MN * KE - скалярное произведение векторов MN и KE, а |MN| и |KE| - длины этих векторов.

Сначала найдем скалярное произведение векторов MN и KE: MN KE = (-2 0) + (2 0) + (0 2) = 0.

Теперь найдем длины векторов MN и KE: |MN| = √((-2)^2 + 2^2 + 0^2) = √(4 + 4) = √8, |KE| = √(0^2 + 0^2 + 2^2) = √4 = 2.

Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла: cos(θ) = 0 / (√8 * 2) = 0.

Так как косинус угла равен нулю, значит угол между прямыми MN и KE равен 90 градусов (прямой угол).