Напишите уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, если извесно, что его диагонали...

Для начала найдем половину длины диагоналей ромба: Полудиагональ а = 8/2 = 4 Полудиагональ b = 10/2 = 5

Так как диагонали ромба лежат на осях координат, то координаты вершин ромба будут (±a, 0) и (0, ±b).

Таким образом, координаты центра окружности будут (0, 0), а радиус окружности будет равен половине длины диагонали ромба.

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид: x^2 + y^2 = 4^2

Ответ: x^2 + y^2 = 16

Для того чтобы написать уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, нужно выполнить несколько шагов. Сначала определим свойства ромба и его координаты, затем найдем радиус вписанной окружности и ее центр, и наконец, запишем уравнение окружности.

1. Определение свойств ромба:

   • В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
   • Половины диагоналей будут равны 4 и 5 (так как диагонали делятся пополам).

2. Нахождение координат вершин ромба:

   • Пусть диагонали лежат на осях координат, тогда их пересечение будет в точке (0, 0).
   • Половина одной диагонали лежит на оси x, другая — на оси y.
   • Вершины ромба будут находиться в точках (4, 0), (-4, 0), (0, 5) и (0, -5).

3. Определение центра и радиуса вписанной окружности:

   • Центр вписанной окружности совпадает с центром ромба, то есть с точкой пересечения его диагоналей, которая находится в точке (0,0).

   • Радиус вписанной окружности равен полупериметру ромба, деленному на 2.

     Полупериметр ромба можно найти, зная длины его сторон. Длина стороны ромба ( s ) находится по теореме Пифагора: [ s = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + \left(\frac{10}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} ]

     Полупериметр ромба будет равен: [ p = \frac{4s}{2} = 2s = 2\sqrt{41} ]

     Радиус вписанной окружности: [ r = \frac{p}{2} = \frac{2\sqrt{41}}{2} = \sqrt{41} ]

4. Уравнение окружности:

   Уравнение окружности с центром в точке (0,0) и радиусом ( r ) имеет вид: [ x^2 + y^2 = r^2 ] Подставим найденный радиус ( r = \sqrt{41} ): [ x^2 + y^2 = (\sqrt{41})^2 ] Упрощаем: [ x^2 + y^2 = 41 ]

Таким образом, уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10, будет: [ x^2 + y^2 = 41 ]

Уравнение окружности, вписанной в ромб с диагоналями 8 и 10 и лежащими на осях координат, будет x^2 + y^2 = 16.