№1 Средняя линия трапеции равна 12 см, а одно из её оснований больше другого в 2 раза. Найдите основание...

№1 Пусть более длинное основание трапеции равно х, тогда менее длинное основание будет равно х/2. Так как средняя линия трапеции равна 12 см, то сумма длин оснований равна 24 см. Таким образом, х + х/2 = 24 Упростим: 3х/2 = 24 Умножаем обе части на 2: 3х = 48 Делим на 3: х = 16 Ответ: более длинное основание трапеции равно 16 см, менее длинное - 8 см.

№2 а) Сумма векторов AB и AD равна AC (диагонали параллелограмма). Таким образом, сумма векторов AB и AD равна AC. б) Сумма векторов BC и CD равна BD (диагонали параллелограмма). Таким образом, сумма векторов BC и CD равна BD.

№3 a) Координаты вектора c равны сумме соответствующих координат векторов a и b: c(2+9; 3+(-9)) = c(11; -6) б) Длина вектора c вычисляется по формуле: √(11^2 + (-6)^2) = √(121 + 36) = √157

№4 Уравнение окружности с центром в точке (х0, у0) и радиусом R имеет вид: (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = R^2 С учетом, что середина диаметра окружности является ее центром, найдем координаты центра окружности: (x0, y0) = ((-6 + 0)/2, (1 + 5)/2) = (-3, 3) Радиус окружности равен половине длины диаметра: R = √((-6 - 0)^2 + (1 - 5)^2)/2 = √(36 + 16)/2 = √52 / 2 = 2√13 Таким образом, уравнение окружности будет: (x + 3)^2 + (y - 3)^2 = (2√13)^2 (x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 52

№1 Основание трапеции равно 18 см. №2 а) Сумма векторов AB и AD равна AC. б) Сумма векторов BC и CD равна BD. №3 a) Координаты вектора c равны (7;-6). б) Длина вектора c равна √85. №4 Уравнение окружности с диаметром AB: (x+3)² + (y-3)² = 25.

Давайте разберём все четыре задачи по порядку:

№1 Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции вычисляется как полусумма её оснований. Пусть основания трапеции равны ( a ) и ( b ), где ( a > b ) и ( a = 2b ). Тогда средняя линия ( m ) равна:

[ m = \frac{a + b}{2} = 12 ]

Подставим ( a = 2b ) в уравнение средней линии:

[ \frac{2b + b}{2} = 12 ]

[ \frac{3b}{2} = 12 ]

Умножим обе стороны на 2:

[ 3b = 24 ]

Разделим обе стороны на 3:

[ b = 8 ]

Следовательно, ( a = 2b = 16 ).

Ответ: основания трапеции равны 16 см и 8 см.

№2 Сумма векторов в параллелограмме

Для параллелограмма ABCD векторы можно выразить следующим образом:

• Вектор ( \overrightarrow{AB} ) и вектор ( \overrightarrow{CD} ) равны и направлены в одну сторону.
• Вектор ( \overrightarrow{AD} ) и вектор ( \overrightarrow{BC} ) равны и направлены в одну сторону.

а) Сумма векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AD} ):

[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} ]

б) Сумма векторов ( \overrightarrow{BC} ) и ( \overrightarrow{CD} ):

Так как ( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} ) и ( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} ), то:

[ \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BD} ]

№3 Работа с векторами

Даны векторы: ( \vec{a} = (2, 3) ) и ( \vec{b} = (9, -9) ).

а) Координаты вектора ( \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} ):

[ \vec{c} = (2 + 9, 3 + (-9)) = (11, -6) ]

б) Длина вектора ( \vec{c} ):

Длина вектора ( \vec{c} = (x, y) ) вычисляется по формуле:

[ |\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2} ]

[ |\vec{c}| = \sqrt{11^2 + (-6)^2} = \sqrt{121 + 36} = \sqrt{157} ]

№4 Уравнение окружности

Центр окружности является серединой диаметра. Даны точки ( A(-6, 1) ) и ( B(0, 5) ).

Координаты центра ( O ) окружности:

[ O_x = \frac{-6 + 0}{2} = -3 ] [ O_y = \frac{1 + 5}{2} = 3 ]

Радиус окружности равен половине длины диаметра ( AB ):

Длина диаметра ( AB ):

[ AB = \sqrt{(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} ]

Радиус ( R = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13} )

Уравнение окружности с центром в точке ( O(-3, 3) ) и радиусом ( \sqrt{13} ):

[ (x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 13 ]

Ответы:

1. Основания трапеции: 16 см и 8 см.
2. а) (\overrightarrow{AC}), б) (\overrightarrow{BD}).
3. а) Координаты вектора ( \vec{c} ): (11, -6); б) Длина вектора ( \vec{c} ): (\sqrt{157}).
4. Уравнение окружности: ((x + 3)^2 + (y - 3)^2 = 13).