объем цилиндра равен 96 пи3 см3. площадь его осевого сечения 48 см2 . найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.
объем цилиндра равен 96 пи3 см3. площадь его осевого сечения 48 см2 . найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом:
Объем цилиндра задается формулой: [ V = \pi r^2 h, ] где ( r ) — радиус основания цилиндра, ( h ) — высота цилиндра.
Площадь осевого сечения цилиндра — это прямоугольник, образованный диаметром основания цилиндра и высотой ( h ): [ S_{\text{осевое}} = 2r \cdot h. ]
Площадь сферы радиуса ( R ) описывается формулой: [ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2. ]
Из формулы объема выразим ( h ): [ h = \frac{V}{\pi r^2}. ]
Подставим это в формулу площади осевого сечения: [ S{\text{осевое}} = 2r \cdot h = 2r \cdot \frac{V}{\pi r^2}. ] Упростим: [ S{\text{осевое}} = \frac{2V}{\pi r}. ]
Подставим известные значения ( S_{\text{осевое}} = 48 \, \text{см}^2 ) и ( V = 96\pi \, \text{см}^3 ): [ 48 = \frac{2 \cdot 96\pi}{\pi r}. ]
Сократим ( \pi ) и упростим: [ 48 = \frac{192}{r}. ]
Найдем ( r ): [ r = \frac{192}{48} = 4 \, \text{см}. ]
Теперь найдем высоту ( h ) из формулы объема: [ h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{96\pi}{\pi \cdot 4^2}. ]
Упростим: [ h = \frac{96}{16} = 6 \, \text{см}. ]
Итак, радиус цилиндра ( r = 4 \, \text{см} ), высота ( h = 6 \, \text{см} ).
Сфера, описанная около цилиндра, касается его вершин. Радиус сферы ( R ) равен половине диагонали осевого сечения цилиндра. Осевое сечение — это прямоугольник размерами ( 2r ) и ( h ), где: [ \text{Диагональ} = \sqrt{(2r)^2 + h^2}. ]
Подставим ( 2r = 8 \, \text{см} ) и ( h = 6 \, \text{см} ): [ \text{Диагональ} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \, \text{см}. ]
Радиус сферы: [ R = \frac{\text{Диагональ}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{см}. ]
Теперь найдем площадь сферы: [ S_{\text{сферы}} = 4\pi R^2. ]
Подставим ( R = 5 \, \text{см} ): [ S_{\text{сферы}} = 4\pi \cdot 5^2 = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \, \text{см}^2. ]
Площадь сферы, описанной около цилиндра, равна: [ S_{\text{сферы}} = 100\pi \, \text{см}^2. ]
Для решения задачи сначала определим радиус и высоту цилиндра, исходя из заданных параметров.
Объем цилиндра (V) можно выразить через радиус (r) основания и высоту (h) следующим образом:
[ V = \pi r^2 h ]
По условию задачи, мы знаем, что объем цилиндра равен ( 96 \pi \, \text{см}^3 ):
[ \pi r^2 h = 96 \pi ]
Упрощая это уравнение, получаем:
[ r^2 h = 96 \quad (1) ]
С другой стороны, площадь осевого сечения (S) цилиндра равна площади основания, которая также определяется через радиус:
[ S = \pi r^2 ]
По условию, площадь осевого сечения равна ( 48 \, \text{см}^2 ):
[ \pi r^2 = 48 ]
Упрощая это уравнение, мы имеем:
[ r^2 = \frac{48}{\pi} \quad (2) ]
Теперь подставим значение ( r^2 ) из (2) в (1):
[ \frac{48}{\pi} h = 96 ]
Решим это уравнение для h:
[ h = \frac{96 \pi}{48} = 2 \pi ]
Теперь, зная высоту ( h = 2\pi ), можем найти радиус ( r ) из уравнения (2):
[ r^2 = \frac{48}{\pi} ]
Таким образом, радиус будет равен:
[ r = \sqrt{\frac{48}{\pi}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{\pi}} ]
Теперь у нас есть радиус ( r ) и высота ( h ) цилиндра. Для нахождения площади сферы, описанной около цилиндра, необходимо определить радиус этой сферы. Радиус описанной сферы ( R ) равен половине диагонали прямоугольного параллелепипеда, который ограничивает цилиндр, где высота равна ( h ), а диаметр основания равен ( 2r ).
Используем формулу для диагонали:
[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} ]
Подставим значения ( r ) и ( h ):
[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{2\pi}{2}\right)^2} = \sqrt{r^2 + \pi^2} ]
Подставим значение ( r^2 = \frac{48}{\pi} ):
[ R = \sqrt{\frac{48}{\pi} + \pi^2} ]
Теперь найдем площадь сферы ( S_s ):
[ S_s = 4\pi R^2 ]
Сначала найдем ( R^2 ):
[ R^2 = \frac{48}{\pi} + \pi^2 ]
Следовательно,
[ S_s = 4\pi \left(\frac{48}{\pi} + \pi^2\right) = 4(48 + \pi^3) = 192 + 4\pi^3 ]
Итак, площадь сферы, описанной около цилиндра, равна:
[ S_s = 192 + 4\pi^3 \, \text{см}^2 ]
