Объем конуса =100π см3, его высота – 12 см.Найти площадь боковой поверхности конуса.

Для нахождения площади боковой поверхности конуса нам необходимо знать радиус основания конуса. Для этого воспользуемся формулой объема конуса:

V = (1/3) π r^2 * h,

где V - объем конуса, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Подставляем известные значения:

100π = (1/3) π r^2 * 12.

Упрощаем выражение:

r^2 = (100 * 3) / 12 = 25.

r = 5 см.

Теперь, для нахождения площади боковой поверхности конуса воспользуемся формулой:

S = π r l,

где S - площадь боковой поверхности конуса, l - образующая конуса.

Для нахождения образующей конуса воспользуемся теоремой Пифагора для правильного треугольника, образованного радиусом основания, высотой и образующей:

l^2 = r^2 + h^2,

l^2 = 5^2 + 12^2, l^2 = 25 + 144, l^2 = 169, l = 13 см.

Подставляем значения в формулу для площади боковой поверхности конуса:

S = π 5 13, S = 65π см^2.

Итак, площадь боковой поверхности конуса равна 65π квадратных сантиметров.

Для решения задачи нам нужно воспользоваться формулами объема и площади боковой поверхности конуса.

1. Формула объема конуса:

[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h ]

где ( V ) — объем, ( r ) — радиус основания конуса, ( h ) — высота конуса.

1. Подставим известные значения в формулу объема:

[ 100\pi = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 12 ]

Сократим (\pi) и упростим уравнение:

[ 100 = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot r^2 ]

[ 100 = 4r^2 ]

Разделим обе стороны на 4:

[ r^2 = 25 ]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон:

[ r = 5 \, \text{см} ]

1. Формула для площади боковой поверхности конуса:

[ S = \pi r l ]

где ( S ) — площадь боковой поверхности, ( r ) — радиус основания, ( l ) — образующая (наклонная высота) конуса.

1. Найдем образующую ( l ) с помощью теоремы Пифагора:

Образующая ( l ) составляет гипотенузу прямоугольного треугольника, где одной из сторон является высота ( h = 12 \, \text{см} ), а другой стороной — радиус основания ( r = 5 \, \text{см} ).

[ l = \sqrt{r^2 + h^2} ]

Подставим значения:

[ l = \sqrt{5^2 + 12^2} ]

[ l = \sqrt{25 + 144} ]

[ l = \sqrt{169} ]

[ l = 13 \, \text{см} ]

1. Теперь найдем площадь боковой поверхности:

[ S = \pi r l ]

Подставим найденные значения радиуса и образующей:

[ S = \pi \cdot 5 \cdot 13 ]

[ S = 65\pi \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса составляет ( 65\pi \, \text{см}^2 ).