Образующая усеченного конуса равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Диагональ...

Для решения данной задачи нам необходимо учитывать не только образующую и угол наклона, но и диагональ осевого сечения.

Для начала найдем радиусы оснований усеченного конуса. Обозначим их через R и r (больший и меньший радиусы соответственно). Так как диагональ осевого сечения делит угол наклона пополам, то мы можем составить прямоугольный треугольник, в котором один из катетов равен r, а гипотенуза равна R. Таким образом, с использованием тригонометрии, получаем уравнение:

r = R sin(30°) = R 0.5

Далее, найдем образующую конуса L:

L = 8 см

Теперь можем найти площадь полной поверхности усеченного конуса, используя формулу:

S = π(R + r) * L + π(R^2 - r^2)

Подставляем найденные значения R и r:

S = π((R + R 0.5) 8 + π(R^2 - (R * 0.5)^2)

S = π(1.5R * 8 + π(R^2 - 0.25R^2))

S = π(12R + 0.75R^2)

Таким образом, площадь полной поверхности усеченного конуса равна 12πR + 0.75πR^2, где R - радиус большего основания.

Для нахождения площади полной поверхности усеченного конуса, нам необходимо найти площадь боковой поверхности и площадь двух оснований. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Образующая ( l = 8 ) см.
• Угол наклона образующей к плоскости основания ( \alpha = 60^\circ ).
• Диагональ осевого сечения делит этот угол пополам, то есть каждый из получившихся углов равен ( 30^\circ ).

Шаг 1: Нахождение радиусов оснований

Так как осевое сечение является равнобедренной трапецией, диагональ делит её на два равных прямоугольных треугольника. Пусть ( R ) и ( r ) — радиусы большего и меньшего оснований соответственно. Тогда:

1. Рассмотрим треугольник, образованный радиусом большего основания ( R ), высотой усеченного конуса ( h ) и частью образующей ( l ).

2. В этом треугольнике:

   • ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{R - r}{l} )
   • ( R - r = \frac{l}{2} = \frac{8}{2} = 4 ) см.

3. Высота ( h ) определяется из:

   • ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{l} )
   • ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 8 = 4\sqrt{3} ) см.

Шаг 2: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности усеченного конуса ( S{\text{бок}} ) определяется формулой: [ S{\text{бок}} = \pi (R + r) l ]

Подставим ( R = r + 4 ) в формулу: [ S_{\text{бок}} = \pi ((r + 4) + r) \cdot 8 = \pi (2r + 4) \cdot 8 = 8\pi (2r + 4) ]

Шаг 3: Площадь оснований

Площадь большего основания: [ S_1 = \pi R^2 = \pi (r + 4)^2 ]

Площадь меньшего основания: [ S_2 = \pi r^2 ]

Шаг 4: Полная площадь поверхности

[ S{\text{полная}} = S{\text{бок}} + S_1 + S2 ] [ S{\text{полная}} = 8\pi (2r + 4) + \pi (r + 4)^2 + \pi r^2 ]

Раскроем скобки и упростим: [ S{\text{полная}} = 8\pi (2r + 4) + \pi (r^2 + 8r + 16) + \pi r^2 ] [ S{\text{полная}} = 16\pi r + 32\pi + \pi r^2 + 8\pi r + 16\pi + \pi r^2 ] [ S_{\text{полная}} = 2\pi r^2 + 24\pi r + 48\pi ]

Таким образом, площадь полной поверхности усеченного конуса равна: [ S_{\text{полная}} = 2\pi r^2 + 24\pi r + 48\pi ]

Для окончательного ответа потребуется дополнительно значение ( r ), но исходя из условия задачи и полученных зависимостей, в данной формулировке этого хватает для понимания процесса.