ОЧЕНЬ СРОЧНО( с чертежами) . 1. Прямые а и b пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой...

Давайте разберем каждый вопрос по порядку.

1. Пересекающиеся и скрещивающиеся прямые

Условие: Прямые ( a ) и ( b ) пересекаются. Прямая ( c ) является скрещивающейся с прямой ( a ). Могут ли прямые ( b ) и ( c ) быть параллельными?

Ответ: Нет, прямые ( b ) и ( c ) не могут быть параллельными.

Обоснование:

• Прямые ( a ) и ( b ) пересекаются, значит, они лежат в одной плоскости.
• Прямая ( c ) скрещивается с ( a ), что значит, она не лежит в одной плоскости с ( a ).
• Если бы ( b ) и ( c ) были параллельны, то они должны были бы лежать в одной и той же плоскости или быть скрещивающимися с одной и той же прямой, что противоречит условию скрещивания ( c ) с ( a ).

2. Плоскость через середины боковых сторон трапеции

Условие: Плоскость проходит через середины боковых сторон ( AB ) и ( CD ) трапеции ( ABCD ) – точки ( M ) и ( N ).

а) Докажите, что ( AD ) параллельна плоскости (\alpha).

Ответ:

• Поскольку ( M ) и ( N ) середины сторон, отрезок ( MN ) параллелен основаниям ( AD ) и ( BC ) трапеции. Это следует из теоремы о средней линии трапеции.
• Следовательно, вся плоскость, проходящая через ( M ) и ( N ), параллельна основанию ( AD ).

б) Найдите ( BC ), если ( AD = 10 \, \text{см} ), ( MN = 8 \, \text{см} ).

Решение:

• По теореме о средней линии трапеции, ( MN = \frac{AD + BC}{2} ).
• Подставим известные значения: ( 8 = \frac{10 + BC}{2} ).
• Решим уравнение: ( 16 = 10 + BC ), откуда ( BC = 6 \, \text{см} ).

3. Прямая через вершину квадрата

Условие: Прямая ( MA ) проходит через вершину квадрата ( ABCD ) и не лежит в плоскости квадрата.

а) Докажите, что ( MA ) и ( BC ) – скрещивающиеся прямые.

Ответ:

• Прямая ( MA ) выходит из плоскости квадрата, поэтому она не может быть ни параллельной, ни пересекающейся с ( BC ).
• Поскольку ( MA ) и ( BC ) не лежат в одной плоскости и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

б) Найдите угол между прямыми ( MA ) и ( BC ), если ( \angle MAD = 45^\circ ).

Решение:

• Угол между скрещивающимися прямыми определяется углом между пересекающимися линиями, параллельными данным.
• В данном случае угол между ( MA ) и плоскостью квадрата равен ( 45^\circ ), следовательно, угол между ( MA ) и любой горизонтальной линией этой плоскости, в том числе и ( BC ), также ( 45^\circ ).

Данные задачи требуют понимания теорем и свойств геометрических фигур и прямых, что было использовано при решении.

1. Нет, прямые b и с не могут быть параллельными, так как прямая с является скрещивающейся с прямой а.

2. а) Для доказательства параллельности AD и α можно воспользоваться теоремой о параллельности сторон трапеции. б) ВС = 2 * MN = 16 см.

3. а) Прямые MA и ВС скрещивающиеся, так как не лежат в одной плоскости. б) Угол между прямыми MA и ВС составляет 135 градусов.

1. Если прямая с является скрещивающейся с прямой а, то прямые b и с не могут быть параллельными. По определению, скрещивающиеся прямые пересекаются в одной точке, поэтому они не могут быть параллельными.

2. а) Поскольку плоскость проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD, то отрезок MN является средней линией этой трапеции. Следовательно, MN || AD. Так как MN || AD и MN пересекает прямые AB и CD в их серединах, то AB || CD.

б) Пусть BC = x. Тогда из теоремы о средних линиях в треугольнике следует, что MN = 1/2(AB + CD) = 1/2(BC + AD). Подставляя данные из условия, получаем 8 = 1/2*(x + 10), откуда x = 6.

1. а) Поскольку прямая MA проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в его плоскости, то она пересекает сторону BC в точке, отличной от вершины C. Следовательно, прямые MA и BC – скрещивающиеся.

б) Угол между прямыми MA и BC равен 90 градусов, так как в квадрате ABCD все углы прямые, а также учитывая, что угол MAD равен 45 градусов.