Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма короткого катета и гипотенузы равна...

1. Величина второго острого угла равна 30°, так как сумма углов треугольника равна 180°.
2. Обозначим длину короткого катета за (a), а гипотенузу за (c). Тогда по теореме Пифагора имеем: (a^2 + c^2 = 39^2). Так как один из острых углов равен 60°, то соответствующий катет равен (a = c \cdot \sin{60°} = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}). Подставляем это в уравнение: ((c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + c^2 = 39^2). Решаем полученное уравнение и находим длину короткого катета: (a = 13 \sqrt{3}) см.

1. Величина второго острого угла равна 30°
2. Длина короткого катета равна 13 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрией.

1. Величина второго острого угла:

В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна 180°. Один из углов прямоугольный и равен 90°, а другой острый угол равен 60°. Поэтому для нахождения второго острого угла используем уравнение:

[ 90° + 60° + \text{второй острый угол} = 180° ]

Отсюда:

[ \text{второй острый угол} = 180° - 90° - 60° = 30° ]

Таким образом, величина второго острого угла равна 30°.

1. Длина короткого катета:

Обозначим короткий катет за ( a ), а гипотенузу за ( c ). Из условия задачи ( a + c = 39 ).

В треугольнике с углом 60° и 30° применяем свойства:

• Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
• Против угла 60° лежит катет, который больше катета против угла 30° в (\sqrt{3}) раз.

Поскольку угол 60° лежит напротив длинного катета, короткий катет ( a ) будет напротив угла 30° и равен половине гипотенузы:

[ a = \frac{c}{2} ]

Подставим это выражение в уравнение ( a + c = 39 ):

[ \frac{c}{2} + c = 39 ]

Умножим всё уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

[ c + 2c = 78 ]

[ 3c = 78 ]

[ c = 26 ]

Теперь найдём ( a ):

[ a = \frac{c}{2} = \frac{26}{2} = 13 ]

Таким образом, длина короткого катета равна 13 см.

Ответы:

1. Величина второго острого угла равна 30°.
2. Длина короткого катета равна 13 см.