Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета - 42 см Найти...

Для решения данной задачи можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Пусть меньший катет равен а, а гипотенуза равна b. Так как угол против меньшего катета равен 60°, то противоположный ему катет будет равен а√3. Имеем систему уравнений: а√3 = bsin(60°) а + b = 42 Из первого уравнения находим b: b = а√3 / sin(60°) = а√3 / √3 / 2 = 2а Подставляем это значение во второе уравнение: а + 2а = 42 3а = 42 а = 14 Следовательно, меньший катет равен 14 см, а гипотенуза равна 214 = 28 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и тригонометрическими соотношениями.

Дано:

• Один из углов прямоугольного треугольника равен (60^\circ).
• Сумма гипотенузы ((c)) и меньшего катета ((a)) равна 42 см.

Требуется найти гипотенузу ((c)) и меньший катет ((a)).

В прямоугольном треугольнике, где один из острых углов равен (60^\circ), другой острый угол будет равен (30^\circ) (так как сумма углов в треугольнике равна (180^\circ), а прямой угол равен (90^\circ)).

В треугольнике с углами (30^\circ), (60^\circ) и (90^\circ) известны следующие соотношения:

1. Катет, лежащий напротив угла (30^\circ) (меньший катет (a)), равен половине гипотенузы: (a = \frac{c}{2}).
2. Катет, лежащий напротив угла (60^\circ) (больший катет (b)), равен (\frac{\sqrt{3}}{2}) гипотенузы: (b = \frac{\sqrt{3}}{2}c).

Поскольку меньший катет (a) лежит напротив угла (30^\circ), применим соотношение (a = \frac{c}{2}).

Из условия задачи имеем: [ c + a = 42 ]

Подставим выражение для меньшего катета (a): [ c + \frac{c}{2} = 42 ]

Упростим уравнение: [ \frac{3c}{2} = 42 ]

Отсюда находим гипотенузу (c): [ 3c = 84 ] [ c = 28 \, \text{см} ]

Теперь найдем меньший катет (a): [ a = \frac{c}{2} = \frac{28}{2} = 14 \, \text{см} ]

Итак, гипотенуза равна 28 см, а меньший катет равен 14 см.