Около окружности радиуса r=6 описан правильный n-угольник. Определите его сторону и периметр, если a)...

а) При n=3 правильный n-угольник - равносторонний треугольник. Сторона равна 12, периметр - 36. б) При n=4 правильный n-угольник - квадрат. Сторона равна 12, периметр - 48. в) При n=6 правильный n-угольник - шестиугольник. Сторона равна 12, периметр - 72.

Чтобы определить сторону и периметр правильного ( n )-угольника, описанного около окружности радиуса ( r = 6 ), нам нужно воспользоваться тригонометрическими соотношениями и формулами для описанных многоугольников.

Для правильного ( n )-угольника, описанного около окружности (вписанного в окружность), радиус описанной окружности ( R ) равен радиусу окружности ( r ) около которой описан многоугольник. Используя центральный угол и тригонометрию, можно определить длину стороны ( a ).

Общая формула для стороны

Центральный угол, соответствующий каждой стороне многоугольника, равен: [ \theta = \frac{2\pi}{n} ]

Длина стороны ( a ) правильного ( n )-угольника, вписанного в окружность радиуса ( R ), может быть найдена с использованием синуса половины центрального угла: [ a = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

В данном случае ( R = r = 6 ).

Периметр

Периметр ( P ) правильного ( n )-угольника равен: [ P = n \times a = n \times 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) ]

Теперь применим это к каждому случаю:

a) ( n = 3 ) (треугольник)

1. Длина стороны: [ a = 2 \times 6 \times \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} ]

2. Периметр: [ P = 3 \times 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3} ]

б) ( n = 4 ) (квадрат)

1. Длина стороны: [ a = 2 \times 6 \times \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ]

2. Периметр: [ P = 4 \times 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2} ]

в) ( n = 6 ) (шестиугольник)

1. Длина стороны: [ a = 2 \times 6 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 12 \times \frac{1}{2} = 6 ]

2. Периметр: [ P = 6 \times 6 = 36 ]

Таким образом, длины сторон и периметры правильных многоугольников, описанных около окружности радиуса 6, равны:

• Для треугольника: сторона ( 6\sqrt{3} ), периметр ( 18\sqrt{3} ).
• Для квадрата: сторона ( 6\sqrt{2} ), периметр ( 24\sqrt{2} ).
• Для шестиугольника: сторона ( 6 ), периметр ( 36 ).

a) При n=3 имеем равносторонний треугольник, в котором сторона равна длине радиуса описанной окружности. Следовательно, сторона треугольника равна r=6. Периметр равен 3*r=18.

б) При n=4 имеем квадрат, в котором диагональ равна диаметру описанной окружности. Длина диагонали квадрата равна 2r=12 (так как диаметр равен 2r). Следовательно, сторона квадрата равна 12/√2=6√2. Периметр квадрата равен 4a=46√2=24√2.

в) При n=6 имеем правильный шестиугольник (гексагон), в котором сторона равна длине радиуса описанной окружности. Следовательно, сторона шестиугольника равна r=6. Периметр шестиугольника равен 6*r=36.